2011版高中数学课时讲练通课件：3.3.3《最大值与最小值》(苏教版选修1-1)

1、,一、填空题（每题4分，共24分） 1.(2010吉林高二检测）若函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间-2,-1上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为_.,【解析】f（x）=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3) =-3(x+1)(x-3)， 令f(x)=0,得x=-1或x=3 f(-1)=1+3-9+a=a-5, f(-2)=8+12-18+a=a+2 由题意知f(-2)f(x)max=2+a=2 a=0 f(x)minf(-1)=a-5=-5. 答案：-5,2.（2010泰州高二检测）函数y=x+2cosx在区间0， 上的最大值是_. 【解析】y=1-2sinx，令y=0，则

2、x= f( )= + f(0)=2,f( )= 故y=x+2cosx在区间0, 上的最大值为 + 答案： +,3.函数f（x）=x3-3x+1在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是_. 【解析】f（x）=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f（x）=0, 则x-1或x=1（舍去） f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17, f(x)max=f(-1)=3， f(x)min=f(-3)=-17. 答案:3,-17,4.若函数f(x)=x3-3x-a在区间0,3上的最大值、最小值分别为m、n，则m-n=_. 【解析】f(x)=3x2-3, 当x1或x-1时f(x)0, 当-1x1时，f

3、(x)0， f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增. f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n. 又f(0)=-a,f(3)=18-a,f(0)f(3), f(x)max=f(3)=18-a=m, m-n=18-a-(-2-a)=20. 答案：20,5.在区间 2上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+ 在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在 2上的最大值是)_. 【解析】g(x)=2- 令g(x)=0得x=1, g(1)=2+1=3,g( )=5,g(2)= 当x=1时，g(x)取最小值3. 1 2且不是区间的端点. x=1是f(x)=x2+px+q的对称轴.,

4、- =1,p=-2. q=4, f(x)=x2-2x+4, 它在 2上的最大值为f(2)=4. 答案：4,6.若不等式 +x23x+a对任意x0,2恒成立,则实数a的取值范围为_. 【解题提示】解答本题可将恒成立问题转化为求最值问题.,【解析】原不等式可化为a0,f(x)单调递增, 当x=1时,f(x)取最小值 a 答案：(-, ),二、解答题（每题8分，共16分） 7.（2010济南高二检测）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5， 若当x= 时,y=f(x)有极值，曲线y=f(x)在点（1，f(1)处的切线斜率为3. （1）求a,b的值； （2）求y=f(x)在-4,1上的最大值和最小值

5、.,【解析】(1)f(x)=3x2+2ax+b. 由题意，得 解得,（2）由（1）知f(x)=x3+2x2-4x+5, 所以f(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2), 令f(x)=0，得x1=-2,x2= 列表如下： f(x)在-4,1上的最大值为13，最小值为-11.,8.（2010赣州高二检测）已知函数f(x)=ex-x, （1）求f(x)的最小值； （2）设不等式f(x)ax的解集为P，且x|0 x2P，求实数a的取值范围.,【解析】（1）f(x)的导数f(x)=ex-1, 令f(x)0，解得x0;令f(x)0, 解得x0. 从而f(x)在(-,0)内单调递减，在(0,+)内单

6、调递增. 所以，当x=0时，f(x)取得最小值1. （2）因为不等式f(x)ax的解集为P,且x|0 x2P, 所以，对任意的x0,2，不等式f(x)ax恒成立， 由f(x)ax,得 (1+a)xex. 当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x(0,2的情况.,将(1+a)xex变形为a 令g(x)= 则g(x)= 令g(x)0，解得x1;令g(x)0, 解得x1. 从而g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,2内单调递增. 所以,当x=1时，g(x)取得最小值e-1,从而， 所求实数a的取值范围是(-,e-1).,9.（10分）若存在实常数k和b,使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的

7、任意实数x分别满足:f（x）kx+b和g（x）kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”.已知h（x）=x2, （x）=2elnx（其中e为自然对数的底数）. （1）求F（x）=h（x）- （x）的极值; （2）函数h（x）和 （x）是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线的方程;若不存在,请说明理由.,【解析】（1）F（x）=h（x）- （x） =x2-2elnx（x0）, 当x= 时,F（x）=0. 当0 x 时,F（x）0,此时函数F（x）递减; 当x 时,F（x）0,此时函数F（x）递增, 当x= 时,F（x）取极小值,其极小值为0.,（2）由（1）可知函数h（x）和 （x）的图象在x= 处有公共点, 因此若存在h（x）和 （x）的隔离直线, 则该直线过这个公共点. 设隔离直线的斜率为k, 则直线方程为y-e=k（x- ）, 即y=kx+e-k 由h（x）kx+e-k （xR）, 可得x2-kx-e+k 0当xR时恒成立. =（k-2 ）2, 由0,得k=2,下面证明 （x）2 x-e当x0时恒成立. 令G（x）= （x）-2 x+e=2elnx-2 x+e, 则G（x） 当x= 时,G（x）=0. 当0 x 时,G（x）0, 此时函数G（x）递增; 当x