四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则.ppt_第1页
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文档简介

1、第四节 无穷小与无穷大,第四节 无穷小与无穷大,一 、 无穷小,1、定义:,极限为零的函数称为无穷小.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不是很小的数，无穷小能比任意小的数更小。,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,2、无穷小与函数极限的关系:,上面的定理对于自变量趋于无穷大时同样成立。,二、无穷大,1，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不是一个很大的数，它能大于任 意大的数;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未 必是无穷大.,函数 y= x sin x 是无界函数， 但它在 x 时不是无穷大。,x=/2就是y=ta

2、nx的一条铅直渐进线,三、无穷小与无穷大的关系,定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,第五节 极限的运算法则,本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。,定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。,定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 （常数是有界的）,推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 （无穷小是有界的）,极限的四则运算法则,定理,注：（1）在定理条件下，首先得到函数的和、差、积、 商的极限是存在。 然后才可以得到上述结果。 （2）以上结论对数列同样成立。,注意 : 必须具备上述定理的条件,才具有相应的结论

3、。 推广 : 上述定理的结论可以推广到任意有限个的情形 。 推论 : 如果 lim f(x) = A , C 为常数 , 则 (1) lim f(x)+ C = lim f(x) + C = A + C ; (2) lim C f(x) = C lim f(x) = A C ; (3) lim f(x) n = lim f(x) n = An 。,n为正整数,A、x 趋于有限值时求函数极限,一、有理函数求极限,例2,小结:,例3 求,例4 求,B、x - 时求函数极限,例5 求,例6 求,例7 求,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例8,二、基本初等函数求极限,基本初等函数在其定义域内,对任意函数f (x),上式成立，称为f

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