数列的函数特征.ppt

1、丰城九中高一数学组,从数列表示的角度理解数列的函数特性,数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集N+(或它的有限子集 1, 2, 3，, n) ,值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值.,0000,0000,确定数列的增减性,确定数列的增减性的方法 判断数列是递增数列还是递减数列,关键是比较相邻两项an+1与an的大小,常见的比较方法有两种： 一是作差比较法. (1)an+1-an0an+1an数列an是递增数列. (2)an+1-an0an+1an数列an是递减数列. (3)an+1-an=0an+1=an数列an是常数列.,二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法比作差法更

2、简便一些.,在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.,【例1】已知数列an的通项公式为an= -8n，判断数列 an的单调性. 【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比较an+1与an的大小，也可用函数的观点判断. 【规范解答】方法一：根据题意可知 则 an+1-an= (n+1)2-8(n+1)-( n2-8n) 由数列的定义域为正整数集可知，当00，数列是递增数列.,方法二：由于本题数列的通项公式为an= n2-8n对应的函数 是f(x)= x2-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性 可知：对称轴是x=8，所以当0n8时数列是递减数

3、列；当n8时，数列是递增数列.,【变式训练】判断数列n2+5n的单调性. 【解析】方法一：根据题意可知an=n2+5n，则an+1-an=(n+ 1)2+5(n+1)-(n2+5n)=2n+6,由数列的定义域为正整数集可 知，an+1-an0，所以数列n2+5n是递增数列. 方法二：由于本题数列的通项公式为an=n2+5n对应的函数是 f(x)=x2+5x，定义域为正整数集，对称轴是 ，根据 函数的单调性可知：数列n2+5n是递增数列.,【误区警示】在利用函数的单调性判断数列的单调性时，一定要注意函数与数列的区别是数列的定义域为正整数集，然后根据函数的对称轴和单调性进行判断.,数列的函数性质的

4、应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途径.,数列的函数性质的应用,【例2】设函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f( )=2n(nN+). (1)求数列an的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进行作差，判断与零的大小或者作商判断与1的大小，从而判断数列的单调性.,【规范解答】(1)f( )log2 -log 2=an ，所以 an 2n 2nan1

5、0， 所以an . 因为x(0,1)，所以 (0,1)，所以an0. 所以an . (2)方法一：an1an (n1) ,所以 ，即数列an是递增数列. 方法二： 又anan， 数列an是递增数列.,【互动探究】若把题目中的函数改为f(x)=2x-2-x，数列 an满足f(log2an)=-2n(nN+).其他不变，你会求解吗？ 【解题提示】仿照例题通过f(log2an)=-2n求得数列an的通项公式，然后作差或者作商证明单调性.,【解析】(1)f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n, an0, (2)方法一： 又an0,an+1an,数列an是递减数列.,方法二：an+1-an

6、即an+1-an0，an+1an.数列an是递减数列.,【典例】(12分)一个数列的通项公式为an30nn2. (1)问60是否为这个数列中的项？ (2)当n分别为何值时，an0，an0，an0； (3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值. 【审题指导】本题的解决关键是用函数的观点思考解决数列问题，三问逐步深入递进，首先第一问判断是否是数列的项，代入验证判断求出的n是否为正整数即可，第二问和第三问，结合二次函数进行判断求解.,【规范解答】(1)令30nn260， 即n2n900， n10或n9(舍)，2分 60是这个数列的第10项，即a1060. 4分 (2)令30nn20，即n2n300. n6或n5(舍)，即当n6时，an0. 6分 结合数列an的图像可知 当n等于1,2,3,4,5时，an0. 当n6且nN+时，an0. 8分,(3)an30nn2 又nN+， 故当n1时，an有最大值，其最大值为30. 12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】数列an的通项公式为ann25n4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值. 【解析】(1)由n25n4=0，解得n=1或n=4. 由数列an的