各种各样的代数运算.ppt

1、教师归纳好， 学生照搬套， 习惯用技巧， 不会去思考。, 161电影网整理发布,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,课件作者：南京师大数科院周兴和,1、仿射变换,定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换.,定理3.1 射影变换,保持l：x3=0不变a31=a32=0.,证明：(略, 见教材).,显然, 射影仿射变换形如,作用于射影仿射平面(拓广平面上).,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,1、仿射变换,显然, 射影仿射变换形如,作用于射影仿射平面(拓广平面上).,将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得,称(3.3)决定

2、的变换为仿射变换, 作用于一般仿射平面上.,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,1、仿射变换,中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA=E, 则称为正交变换, (3.3)的齐次坐标表达式称为射影正交变换.,2、正交变换,定义3.2 在仿射变换,注：正交变换作用于欧氏平面上, 而射影正交变换则作用于射影仿射平面上.,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,二、群与变换群,定义 (代数运算)设A, B, C为集合, 为AB到C的一个对应. 则称为AB到C的一个代数运算. 特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算.,注：代数运算可以满足结合律, 交换律, 分配律中的某

3、一个或者全部.,以下这些概念都将在近世代数课程中学习, 我们仅承认并应用.,定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数系统的科学.,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,二、群与变换群,比如, 实数集R上的加(减)法、乘(除)法都是R上的代数运算.,比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是FV到V的一个代数运算.,有形形式式的集合, 更有各种各样的代数运算.,比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算.,比如, sin不是一个代数运算, 而sincos是一个代数运算.,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,二、群与变换群,定义3.3 (群)设G为非空集

4、合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记作G.,注1 定义中的运算是称为乘法, 未必是通常的乘法.,注2 群中的乘法不一定满足交换律. 若满足交换律, 可以将这种乘法称为加法, 这样的群称为交换群或加法群或Abel群.,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,二、群与变换群,例1 设Q*表示全体非零有理数的集合, 则Q*对于数的乘法构成群.,例2 设M表示实数域上全体n阶可逆方阵的集合, 则M对于矩阵的乘法构成群.,定义3.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这

5、个乘法构成一个群, 记作G.,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,二、群与变换群,定义3.4 (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群.,定理3.2 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件.,证明. 只要由上述(1), (2)推出H对于G的乘法满足群的4个条件(严格证明将来见近世代数课程).,第三章 变换群与几何学,一、二维射影变换的特例,二、群与变换群,定义3.5 (群的同构)两个群G, G之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G之间的一个同构映射. 如果群G与G之间存在一个同构映射, 则称G同构于G, 记作GG.,定理3.3 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群. 称为集合S上的全变换群.,定理3.4 非空集合S上若干个一一变换的集合G对于变换的乘法构成