拉普拉斯变换及反变换

1、补充：拉普拉斯变换及反变换,拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。,概述,一、 拉普拉斯变换,（2）常用函数的拉普拉斯变换,（3）拉普拉斯变换的基本性质,二、 拉普拉斯反变换,内容,（1）定义,定义,拉氏变换积分上限说明：,一、拉普拉斯变换,F(s)=f(t),f(t)= -1F(s),表示为：,0,f(t) ，t 0,)称为原函数，属时域。 原函数 用小写字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t),F(s) 称为象函数，属复频域 。 象函数F(s) 用大写字母表示 ,如F(s) ，I(s)，U(s)。,称为复频率 。,

2、f(t),F(S),L,L_,拉普拉斯变换对，记为：,2.2 常用函数的拉普拉斯变换,（单位阶跃函数）,F(s)=,(指数函数),F(s)=,= 1,（单位脉冲函数）,（单位斜坡函数）,F(s)=Lf(t)=,（幂函数）,常用函数的拉普拉斯变换表,t,tn,e-at,te-at,tne-at,e-jwt,u(t),(t),n(t),1,sn,1/s,1/s2,例题 求图示两个函数的拉氏变换式,解 由于定义的拉氏变换积分上限是0，两个函数的拉氏变换式相同,当取上式的反变换时，只能表示出,区间的函数式, -1,2.3 拉普拉斯变换的基本性质,一、线性性质,二、微分定理,初态为r(0-)及r/(0-

3、)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。 解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t) 对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得 S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s) 整理合并得 （S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10,例3 某动态电路的输入输出方程为,三、积分定理,例,四、时域平移,f(t),f(t-t0),平移,例1,例2,五、 复频域平移,例3,六、初值定理和终值定理,初值定

4、理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激， 则,终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且,例1,例2,例3,例4：已知F(s)=,解：由初值定理得,，求f(0)和f(),由终值定理得,例 右图所示电路中，电压源为 ， 试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。,七、时域卷积性,i(t),R,L,解（1）写出系统动力学方程,（2）作Laplace变换得,系统方框图,零状态响应电流,I(s)=Ui(s)H(s)= ui(t) H(s),=,（4）应用时域卷积定理,（3）求系统传递函数,（5）作Laplace反变换得,八、S域卷积性,九、尺度变换性,拉普拉斯变换的基

5、本性质表,拉普拉斯变换的基本性质表,拉普拉斯变换的基本性质表,本讲小结：,拉普拉斯变换定义,常用函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的基本性质,(1),利用,作业,1、,写出拉普拉斯变换定义式,2、,二、拉普拉斯反变换,1、由象函数求原函数,（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表,f(t)=L-1F(s),象函数的一般形式：,2、将F(s)进行部分分式展开,等式两边同乘(s-s1),例1,解：,F(S),例2,（m = n，用长除法）,解：,F(S),（k1 , k2也是一对共轭复数）,假设只有两个根,设,解：,则,欧拉公式,例1,法一：,部分分式法展开，求系数。,法二：,将F2(s)改写为(s )2 + 2,F(S) =,等式两边同乘,例1,等式两边乘,得,例2,等式两边乘,（4）一般多重根情况,练习1:,求其原函数,s,练习2:,因为mn，,故采用,同理可求,练习3:,（t0）,练习4:,2.5 用拉氏变换法求解常微分方程,n,作Laplace变换,例1:,1 (t0),0 (t0),例 如图所示电路中，电压源为 ， 求零状态响应电流i(t)。,i(t),R,L,（1）写出系统动力学方程,（2）作Laplace变换