概率论与数理统计(多维随机变量及其联合分布)

1、第3章 多维随机变量及其分布,3.1 多维随机变量及联合分布,3.2 二维随机变量的边缘分布,3.3 条 件 分 布,3.4 随机变量的相互独立性,3.5 二维随机变量函数的分布,第3章 多维随机变量及其分布,在实际问题的研究中，只用一个随机变量往往是不够的 例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身高和体重两个随机变量来描述； 研究某地区的气候状况需要考虑温度、湿度等多个随机变量； 研究国民经济状况，就需要用gdp、固定资产投资、各产业产值、人均消费额等很多随机变量来描述 本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用,【保险中的理赔总量模型】 保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每次的

2、理赔额和全年理赔总量均为随机变量某保险公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量，用xi表示某类保险单的第i次理赔额，n表示在一个会计年度所有这类保单发生理赔次数，y表示这一年中对这类保单的理赔总量建立如下理赔总量模型：,现有一组保单，假设在一年内可能发生的理赔次数为0，1，2和3，相应的概率为0.1，0.3，0.4和0.2每张保单可能产生的理赔额为1，2，3（万元），相应的概率为0.5，0.4，0.1，试分析理赔总量y的概率分布，并求理赔总量超过6万元的概率,【保险中的理赔总量模型】,3.1 多维随机变量及联合分布 3.1.1 多维随机变量的概念 定义3.1 如果x1()，x2()，xn(

3、)是定义在同一个样本空间 = 上的n个随机变量，则称 为n维随机变量或n维随机向量，简记为x = (x1，x2，xn) 注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上，对于不同样本空间上的两个随机变量，本章将不涉及这类问题,第3章 多维随机变量及其分布,3.1.1 多维随机变量的概念,【例3.1】在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点）的衣食住行四个方面，若用x1()，x2()，x3()，x4()分别表示衣食住行的花费，则(x1，x2，x3，x4)就是一个四维随机变量 逐个地来研究每个随机变量的性质是不够的，还需要将(x1，x2，xn)作为一个整体来进行研究 本章中主要研究二

4、维随机变量，二维以上的情况可类似地进行.,定义3.2 设(x，y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，事件x x，y y同时发生的概率 称为二维随机变量(x，y)的分布函数，或x与y的联合分布函数 如果将二维随机变量(x，y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数f(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(x，y)落在以点(x，y)为右上角的无穷矩形内的概率.,3.1.2 二维随机变量及联合分布函数,3.1.2 二维随机变量及联合分布函数,容易证明分布函数f(x，y)具有以下的性质: (1) 单调性：f(x，y)分别对x或y是单调不减的，即 当 时，有 当 时，有 (2) 有界性：对任意的x

5、和y，有 ，且,3.1.2 二维随机变量及联合分布函数,(3) 右连续性：对每个变量是右连续的，即 对任意的x0，有 ； 对任意的y0，有 (4) 非负性：对任意的a b，c d有 事实上，具有上述四条性质的二元函数f(x，y)一定是某个二维随机变量的分布函数 注意，一个二元函数f(x，y)满足前三条性质时不一定满足性质(4) (见例3.2),3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,定义3.3 如果二维随机变量(x，y)只取有限个或可列个数对(xi，yj)，则称(x，y)为二维离散型随机变量，称 为(x，y)的分布律，或x与y的联合分布律 也可用如下表格形式表示(x，y)的分布律,3.1.

6、3 二维离散型随机变量及联合分布律,联合分布律有如下性质： (1) 非负性： (2) 归一性： 求二维离散型随机变量(x，y)的分布律，关键是写出(x，y)所有可能取到的数对及其发生的概率,3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,【例3.3】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为0.2，乙每次命中率为0.5以x、y分别表示甲、乙各射击两次的命中次数，试求(x，y)的分布律 解：由题知，x、y均可取0，1，2由于甲、乙是独立进行射击，所以x = i与y = j两事件相互独立，i，j = 0，1，2于是 px = i，y = j = px = ipy = j i，j = 0，1，2 故(x，y)

7、的分布律为,【补充例 】袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球.以x表示取到黑球的只数，以y表示取到白球的只数.(1)求(x,y)的分布律. (2)求概率,解: (1)x所有可能取的不同值为0,1,2;y所有可能取的不同值为0,1,2. (x,y)的分布律为,分布律也可写成以下表格的形式.,3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,(2),3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度 定义3.4 如果存在二元非负函数f (x，y)，使得二维随机变量(x，y)的分布函数f(x，y)可表示为 则称(x,y)为二维连续型随机变量,称f(x,

8、y)为(x,y)的概率密度，或x与y的联合概率密度 显然，在f(x，y)偏导数存在的点上有,3.1 多维随机变量及联合分布,3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度,联合概率密度有如下性质： (1) 非负性：f(x，y) 0 (2) 归一性： (3) 二维随机变量(x，y)落在平面上某个区域g内的概率为,【例3.5】已知随机变量x和y的联合概率密度为 试求px y 解：由联合概率密度的性质3知： 积分区域x y与f(x，y)取值非零的区域的交集如图.所以,3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度,【例3.6】设二维随机变量(x，y)具有概率密度 求分布函数f(x，y) 解：,3.1.4

9、 二维连续型随机变量及联合概率密度,解:（1）由于在区域g: 00, 其他f(x,y)0所以,3.1 多维随机变量及联合分布,【补充例 】,解得k=2,3.1 多维随机变量及联合分布,解:（1）由于在区域g: 00, 其他f(x,y)0所以,（2）设区域为: ,3.1 多维随机变量及联合分布,3.1.5 常用二维分布 1. 二维均匀分布 定义3.5 设g是平面上的一个有界区域，其面积为a，令 以f(x，y)为概率密度的二维随机变量(x，y)称为服从区域g上的均匀分布,3.1 多维随机变量及联合分布,3.1.5 常用二维分布,【例3.7】设( x，y )服从区域 g：0 x 2；0 y 2上的均匀分布， 求p| x y