第一章方向导数及梯度.ppt

1、1.3标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field,标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。,静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z)、 F (x, y, z) 时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z,t)、 F (x, y, z,t),1.标量场的等值面,等值面:标量场

2、为同一数值的点在空间形成 的曲面。 等值面方程：u(x, y, z) C,标量场的等值线(面),常数C取一系列不同的值，就得到一系列不 同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 因此标量场的等值面互不相交。,等值面的特点：,例题求数量场 =(x+y)2-z,通过点M(1, 0, 1)的等值面,方程。 解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1， 则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。,(x y)2 z 0 z (x y)2,或,其等值面方程为,如果上式的极限存在，则称它为 函数在点P0处沿l方向的方向导数 标量场在不同方向上的变化率 一般说来是不同的,2

3、. 方向导数(directional derivative),uP uP ,0 l,l,u, lim l 0,P,0,方向导数,方向导数物理意义：,M 0, 0,处沿 l 方向增加率；,0,M 0, 0,，标量场 u在 M处沿 l 方向减小率；,0,u l u l u l,，标量场 u 在 M,M 0, 0,，标量场 u在 M,处沿 l 方向为等值面方向（无改变）,0,方向导数的计算,直角坐标系下，标量函数的方向导数为：,dx cos,dy cos ,dz cos dldldl,u u dx u dy u dz lxdlydlzdl,z,x,y,方向角 o,l,在直角坐标系中 u u cos

4、u cos u cos lxyz,3,cos 2 2,12 22 22,3,cos 2 2,12 22 22,3,cos 1 1,12 22 22,例题求数量场 u ,在点M(1, 1, 2)处,z 沿 l ex 2ey 2ez方向的方向导数。 uuuu 解：coscos cos lxyz,x2 y2,方向的方向余弦为,l,z2,u (x2 y2 ),u2xu2 y,xzyzz,数量场在l方向的方向导数为,z2,z 2 x2 y2,3z3z3,1 2x2 2 y,u u cos u cos u cos ,lxy,在点M处沿l方向的方向导数, 1 1 2 1 2 2 2 33343,u l,M,

5、3. 梯度（gradient）,yz,u eu eu x,grad u G e,yz,x,gradu u,梯度就是变化率最大方向上的方向导数 。, e, e e x,x,y,z,y, z,u u,xyz ,ez,ey,ex, ,gradu=,标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点 的等值面，且指向函数增大的方向。也就 是说，梯度就是该等值面的法向矢量。,方向导数等于梯度在该方向上,的投影即, u el,l,u,梯度的旋度恒等于零,u 0,如果一个矢量场满足 F =0，即是一个无旋场，则该,矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即 F = u,梯度的性质,z,x,y,u eu eu方 x xy y

6、z z向,o,l,角,coscos cos lxyz,uuuu,grad u e G,u 0,标量场梯度的旋度恒等于零。,2u2u2u2u2u2u ()e ()e ()e yzzyxzxxzyxyyxz 0,梯度的重要性质,证明：左边=( eee) (eu e,u eu ),yz,xyzx,z,y,xyz x,梯度的运算,u u e 1 u e,r,z,u e,rr z,u u e 1 u e 1 u e,rr r sin ,r,由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知,在直角坐标系下：,在球面坐标系中：, e1 e( 1 ) ), (e,r sin,r,r r ,在柱面坐标系中：,1 , (

7、e e, ),r,r r z z,e,u u e u e u e,xyz,xyz,例题设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r xex yey zez,的模， 即 r ,证：,ex ,ey ,ez,r,rr,gradr r ,x,y,z,x2 y2 z2,x2 y2 z2,r zx, z z,r,x2 y2 z2,x2 y2 z2,r xx, x x,r,r ，证明： grad r= e,x2 y2 z2,x2 y2 z2,x2 y2 z2,r yy, y y,r,所以,r,r,er,yz,x,z,y,x,r, z e 1 (xe ye ze) r rr,y e r,gradr r x

8、e r,点M处的坐标为x=1, y=0, z=1,r ,x2 y2 z22,所以r在M点处的梯度为,例题求r在M(1，0，1)处沿 l ex 2ey 2ez,方向的方向导数。,ez,ex ,gradr r ,2,1,2,1,r的梯度为,grad r r 1 (xe ye ze ),xyz,r,解： r在M点沿l方向的方向导数为, r el,M,l,r,所以,2222,r 1 1 0 2 1 2 1 l,333,M,而,ez,ey,ex,el,l,l1 3,2 3,2 3, ,例题:若 R r r ex x x ey y y ez z z,R R,f (R) f (R),说明：,xyz, eee

9、,xyz, e e e,x y z ,xyz,证明：,(1),(R) R e,R,R,(2),R3R2,( 1 ) R eR,R,(3),1.矢量线(vector line),1.4矢量场的通量 散度,如：静电场的电力线、磁场的磁 力线、流速场中的流线等 矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向,所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一 点处， 场的矢量都位于该点处的切线上。,A / dr,力线方程,r,dr,r dr,A 与 dr共线,在直角坐标系中，其表达式为 A ex Ax ey Ay ez Az dr ex dx ey dy ez dz,Adr 0,矢量

10、线的方程为,xy 2x2 yy2 z,解： 矢量线应满足的微分方程为 dx dy dz, dx dz xyyz, xy 2x2 y,从而有 , dxdy,2,2, x,z c1x,y c2,22,解之即得矢量方程,c1和c2是积分常数。,例,求矢量场 A =xy2,+x2yey+zy2e,的矢量线方程。,x,e,z,矢量场的通量,若S 为闭合曲面,若矢量场 F (r )分布于空间中， 在空间中存在任意曲面S，则定义：,为矢量 F (r ) 沿曲面 S 的通量。,物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。, A(r ) dS,s, F (r ) dS,s,2. 通量(flux),讨论： 面

11、元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。 dS ：面元面积，为微分量其值可认为无限小,en,：面元法线方向，垂直于面元平面。,en,dS,面元法向 e,的确定方法：,对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向,n, F dS F e dS F cosrdS,s,ss,n,称矢量 dS en dS为面元矢量,通过闭合面S的通量的物理意义： 若 0，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源,若 0，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源 若 0，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正源负源代数和为0, 0 (有正源), 0 (有负源), = 0 (无源),3.矢量场

12、的散度 Divergence of a vector field: 散度的定义 在场空间 F (r ) 中任意点M 处作一个闭合曲 面，所围的体积为 V，则定义场矢量 F (r )在M,点处的散度为：,divF r 散度的物理意义,F r dS,V,s,V 0,lim,矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性； 矢量场的散度是一个标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。,( divF(r ) 0 正源),divF(r ) 0负源),V3 ( divF(r ) 0无源）,若 divF (r ) 0，则该矢量场称为有源场，为源密度 若divF (r ) 0处

13、处成立，则该矢量场称为无源场,讨论：在矢量场中，,V2,V1,当divA 0，称为源点 (source point)-表示 矢量场在该点处有散,发通 量之正源；,当div A0，称之为汇 点(sink point)-表示 矢量场在该点处有吸,收通量之负源；,当div A =0，表示矢量 场在该点处无源 。,散度的计算,y x,x,S3 O,z,y,z,S,1,S2,S6,S5,S4,1.4矢量的通量和散度,散度与所取体积元 的形状无关，与所取 坐标无关 a.直角坐标系中,xyz,AA,A,divA x y z,1.4矢量的通量和散度,引入哈密顿算符 （矢性微分算符） 直角坐标内，,则有:,x

14、xy yz z, e e e,div AA,1.4矢量的通量和散度,b.圆柱坐标,c.球坐标,) z z,A,A,(A) (, A , ,1,1,(),r sin,1,(sinA ) ,1 r sin ,(rA ) ,1 ,2,r 2,A,r, A ,r,4. 散度定理(divergence theorem), V AdV SA dS,高斯散度定理,y x,矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的 闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分 z,则在一定体积V内的总的通量为：,得证！, Ar dV Ar dS,Vs,散度定理的证明 ,从散度定义有： Ar lim V 0, Ar dS,d dV,V

15、0 V,V,s, lim,该公式表明了区域V 中场 A,与边界S上的,场A之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,V AdV SA dS,例题：,已知：R e (x x ) e( y ，y ) e (z z ) xyz,R R,求：矢量,R3,R,D ,在R0处的散度。,场点位置矢量,场点位置矢量,r,r,场点,源点,0,r,r,R,3 x x2,R3,3,R5, x x 1,x ,R,提示：,例,解：,q3r2 3(x2 y2 z2 ),r5, 0,xyz4,divD D x x x ,DDD,4 r3, qy , 4 r3,4 r3,D qx ,x,y,z,D qz,D,原点处点电

16、荷q产生的电位移矢量 D q e, q r， 4r 3,试求电位移矢量D的散度。,3,r3r3,D q x e y e z e,4r,xyz ,4r 2,r,r5,D q r 2 3x2,x x4,r5,q r 2 3y2,y4,Dy,r5,r 2 3z2,Dz q z4,所以,例题球面S上任意点的位置矢量为 r xex yey zez 解： 根据散度定理知 ,，求 r dS,而r 的散度为, r x y z 3 xyz,S, r dS ( r)dV,V,S,3,3,( r )dV 3dV 3r 4r,3,4,r dS ,V,V,S,1.矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存

17、在另一类不同于通量 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何 闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分 不为零。,1.5矢量场的环流与旋度,矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合 曲线C的线积分，记为： C F (x, y, z) dl 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为 无旋场，又称为保守场。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场 为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。,环流的概念,如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面,的电流成正比，即： C B(x, y, z) dl 0 I 0 S J (x, y, z

18、) dS 上式建立了磁场与电流的关系。,例：流速场,流速场,S n S,环流的计算,A,C,P,在直角坐标系中：,F ex Fx ey Fy ez Fz dl exdx ey dy ezdz, F dx Fdy F dz,C,xyz,线元矢量 dl：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。, F dl,C,矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。 为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场旋度。 过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，当S点M时， 极限, F dl,L,S 0 S,rot n F lim,1,2、矢量场的旋度,Curl of a vector fi

19、eld:,M 称为矢量场在点M 处沿 en 的环流密度。,rot n F 表示矢量场,在点M处沿e 方向的漩涡源密度；其值与方向有关。 n,性质 ：l围成的面元矢量 旋涡面的方向,重合，最大 夹角，中间值 垂直，0,R,F,e,n,旋度矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流 密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时小面积元的法线,方向，即：,max 旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量，是空间位置的函数； 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡 源密度；,n S 0,rotF elim,S,F dl,C,旋度的计算 在直角坐标系下：,x rot F exrotx F eyroty

20、 F ezrotz F, e (Fz Fy ) e(Fx Fz ) e (Fy,Fx ),xy,z,yzzx,xy,ez) ex Fx ey Fy ez Fz , (ex,ey,x,yz, F,重 点,M,y,z,ex,z,y, xyz FxFyFz,exeyez ,圆柱面坐标系,z FF Fz,eeez 1, F ,errer sine FrrFr sinF,r 2 sinr, F 1 ,球面坐标系,旋度的有关公式：, (F G)G F F G, (F G) F G, C 0 (C为常矢量) (Cf ) f C, ( fF ) f F f F,3. 斯托克斯定理（Stokes Theorem

21、）,c,意义：矢量场的旋度在曲面上的积分 等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲 线上的线积分。,l A dl s( A) dS,由旋度的定义,对于有限大面积s，可将其按如图方 式进行分割，对每一小面积元有,c A dl s( A) dS 得证！,斯托克斯定理的证明, (rotA) en,c,lim S 0,S, A dl, A dl ( A) dS,c, A dl ( A) dS ,c2,c, ,2,1,c,4. 散度和旋度的区别, F 0 F 0, F 0 F 0, F 0 F 0, F 0 F 0,5. 矢量场旋度的重要性质,y 2,2,2,2,x 2,2, (,) (,) (,), 0,y,

22、y,x,x,z,z,F,F,F,F,F,F,xy,xz,yz,xy,xz,yz,任意矢量场旋度的散度等于零。, ( F ) 0, Fx ),e ( Fy,Fz ),FF y ) e (x, ）e ( Fz,zzx,zx, e e,x xy y,证明：左边=（e,z,y,x,z,讨论 矢量场的性质可以用其散度和旋度来表征，散度描 述的是场分量沿着各自方向上的变化规律，旋度描 述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。 如果矢量场的散度为零，则该矢量场是连续的或无 散的；如果矢量场的旋度等于零，则称此矢量场是 无旋的或保守的。, B 0, B A,矢量场的散 度等于零,该矢量可以用另一个 矢量

23、的旋度来表示,例求矢量,(c是常数)沿曲线,(x-2)2+y2=R2, z=0的环流。,A yex xey cez,2,(R2 2R cos )d,0,解： 由于在曲线 l 上 z 0 ，所以 dz 0,。,A yex xey cez,dl ex dx ey dy,x 2 R cos y R sin,2,2,0,0,R sin d (2 R cos ) ,(2 R cos )d (R sin ), ,2,R2 (sin2 cos2 ) 2R cos d,0, 2 R2, l A dl,(2 R cos )R cosd,d , Rsin,2,2,0,22,0,例求矢量场,在点M(1，0，1)处的

24、旋度以及沿 n 2ex 6ey 3ez 密度。,方向的环流面,exeyez xyz x(z y)y(x z)z( y x), (z y)ex (x z)ey ( y x)ez,rotA A ,A x(z y)ex y(x z)ey z( y x)ez,解： 矢量场的旋度,A,在点M(1，0，1)处的旋度, A M ex 2ey ez,n方向的单位矢量,在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度, n 2 6 2 3 17 7777,M, A,22 62 32,n 1 (2e 6e 3e ) 2 e 6 e 3 e,777,xyz,xyz,例 场强度为,在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生

25、的电,4 r34 r3,E q r q (xe ye ze ),xyz,求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度, E 。,3,3,3,3,0 ,3,3,4, 0,x,y,z , q z y e, x z e,yr,zr,zr,xr, y, x,e,x,r,yr,解：,r3r3r3,exeyez yz xyz,4x, E q ,E q r 4 r3,1、矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等 于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点 的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正

26、比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量， 在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场 在该点的旋度。,1.6无旋场与无散场,2、矢量场按源的分类 （1）无旋场,仅有散度源而无旋度源的矢量场， F 0,F dl 0,C,性质：,，线积分和路径无关，是保守场。,无旋场可以用标量场的梯度表示为,F u,例如：静电场, E 0 ,E ,（2）无散场,仅有旋度源而无散度源的矢量场， F 0 F dS 0,S,无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 F A 例如，恒定磁场, B A, B 0 ,（3）在要讨论的场区，既无旋又无散, F 0 F 0, F u (u) 0, 2u 0 （4）既可能有散，也可能有旋的矢量场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 F (r) u(r) A(r) 无旋场部分 无散场部分,1.7拉普拉斯运算与格林定理,1、拉普