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文档简介

1、1-10 闭区间上连续函数的性质,最大值和最小值定理 介值定理,一、最大值和最小值定理 P55,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,证：,取,当|x|X时, | f (x)-A|1,又|f (x)|-|A| f (x)-A|1,即: | f (x)|A|+1, f(x) 在(-，+)上连续， f(x)在-X，X上连续。,由最值定理, M00, x X, 都有| f (x)|M0,取M=max

2、|A|+1, M0,例1 设 f (x) 在(-, +)上连续，且 存在,证明 f (x) 在(-, +)上有界。,有渐近线,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,上连续 , 且恒为正 ,例2. 设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,当,时,取,或, 则有,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,例4,证,由零点定理,例5 设f(x)在(a, b)内连续，x1,x2,xn是(a, b)内任意值， 证明存在一点(a, b)使,证：设,f(x)在(a, b)内连续， f(x)在x i , x j 上连续。,x1,x2xnxi , xj,由最值定理： f(x)在xi ,xj 上达到最大M=f(1)， 最小值m=f(2)，,即,据介值定理推论: 至少存在,使,小结,四个定理,最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.,注意1闭区间； 2连续函数 这两点不满足, 上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅

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