D11映射与函数hw

1、高等数学,Advanced Mathematics,2020/7/10,2,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,高等数学,注,第一章,函数与极限,2020/7/10,3,第一节映射与函数,第一章,2020/7/10,4,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,一、 集合,1. 定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,简称集,简称元,2020/7/10,5,表示

2、法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例:,有理数集,p 与 q 互质,无理数集,开区间,闭区间,2020/7/10,6,无限区间,点的 邻域,- a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,半开区间,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,表示法：,2020/7/10,7,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,或,2. 集合之间的关系及运算,注,2020/7/10,8,引例1.,引例2.,(点集),(点集),向 y 轴投影,二、 映

3、射,2020/7/10,9,定义4.,设 X , Y 是两个非空集合，若存在一个对应规则f ，,使得,有唯一确定的,与之对应,则称 f,为从 X 到 Y 的映射(算子)，记作,1）像-y，,2）原像- x,3）f 的定义域：,4）f 的 值域,注,二、 映射,2020/7/10,10,5）映射,a)若, 则称 f 为满射;,b) 若,有,则称 f 为单射;,c) 若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,Y中没有多余的项,无多对一的情形,注,二、 映射,2020/7/10,11,例1.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),例2.,如图所示,

4、则有,(满射),二、 映射,2020/7/10,12,X (数集 或点集 ),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X ( ),Y (数集),f 称为X 上的泛函,X ( ),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的函数,映射又称为算子.,名称. 例如,二、 映射,2020/7/10,13,定义域,三、函数,1. 函数的概念,定义5. 设数集,则称映射,为定义在D 上的函数 ,记为,值域:,函数图形:,自变量,因变量,2020/7/10,14,(对应规则),(值域),(定义域),注：,例3 绝对值函数,定义域：,值域：,1) 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；,注,2) 对

5、应关系可以由解析表达式、表格、曲线，或是用语言等不同的形式给出, 由下面的例子可以看出:,例1 常值函数 y = c ，c是一个常数.,例2 数列,定义域为全体正整数.,2020/7/10,15,例4 某车间生产产品数量N与时间t 的一组测量值.,该表格给出了两个数集间的对应关系，是一个函数，,其定义域为8，9，10，11，12，14，15，16，17.,2. 函数例子,2020/7/10,16,例5. 已知函数,解:,f (x) 的定义域,值域,2020/7/10,17,设函数,x 换为 f (x),例6.,解:,注,2020/7/10,18,例7. Gauss函数，不超过自变量的最大整数,

6、如,例8. 符号函数,2. 函数例子,2020/7/10,19,自变量在不同范围内取值时，函数表达式可能不同，这样的函数称为分段函数.,例10. 分段函数,例9. Dirichlet(狄利克雷)函数,上述函数的特点是：,2. 函数例子,2020/7/10,20,3. 函数的几种特性,设,且有区间,(1) 有界性,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .,(2) 单调性,为有界函数.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,单调增函数 ;,单调减函数 .,2020/7/10,21,(3) 奇偶性,且有,f (x) 为偶函数;,f (

7、x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦 Hyperbolic cosine,记,3. 函数的几种特性,注,2020/7/10,22,(3) 奇偶性,例如,双曲余弦,记,双曲正弦,双曲正切,3. 函数的几种特性,2020/7/10,23,说明: 给定,则,偶函数,奇函数,注,双曲正弦,双曲正切,3. 函数的几种特性,2020/7/10,24,(4) 周期性,若,，l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 ，,例如： 常量函数,狄利克雷函数 Dirichlet,x 为有理数,x 为无

8、理数,注,3. 函数的几种特性,2020/7/10,25,4. 反函数与复合函数,(1),若单射,，则,习惯上记作,f 的反函数为,1）相同的单调性 2）图形关于 对称,性质:,称,2020/7/10,26,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,4. 反函数与复合函数,2020/7/10,27,例 11. 反正弦函数 .,定义域：,值域：,反函数例子（P369，370）,正弦函数,反正弦函数,2020/7/10,28,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 1. 构成复合函数的条件,不可少.,例如：函数链 :,则,2. 书写

9、复合函数时不一定写出其定义域,2020/7/10,29,4. 初等函数（P368）,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,( 自学, P12 P15 ),2020/7/10,30,非初等函数举例：,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,注,4. 初等函数,2020/7/10,31,内容小结,2. 函数四大特性,3. 初等函数的结构,作业 P16 1 (4，6，7，8)； 3；12；13；15,1. 函数的定义及函数的二要素,2020/7/10,32,且,思考题,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,2020/7/