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文档简介

1、第四节 二次型的正定性,一、惯性定律,二、正定二次型,下页,一、惯性定律,化二次型为标准形，所用可逆线性变换不同，化成的标准形 一般也不同,问：标准形中哪些量是由二次型本身唯一确定的，而不依赖 所作的变换？,定理2（惯性定律）实二次型经过任何可逆线性变换化 为标准形，不但非零项的项数一定（它等于二次型的秩）， 而且正项、负项的项数也分别相同,标准形的正项项数 p 叫做二次型的正惯性指(数)标； 负项项数 q 叫做二次型的负惯性指(数)标,1. 惯性定律,下页,2. 二次型的规范形,由惯性定理， 标准形非零项个数r(等于矩阵的秩），正惯性 指数p , 负惯性指数r-p都是由f 本身唯一确定的 不

2、失一般性，设f 经满秩线性变换化成了标准形,其中di0 (i=1, 2,， r), r为f的秩如果再作可逆线性变换,则把f 化成了系数为或的更简单形式,称其为f 的规范形，它是唯一的,一、惯性定律,下页,二、正定二次型,定义1 若二次型f=X TAX对于任意非零的n 维向量X，恒有 f=XTAX 0,则称f=XTAX为正定二次型，并称A为正定矩阵.,如：,是正定二次型,不是正定二次型,不是正定二次型,1. 正定二次型的定义,2. 正定二次型的判定,定理1 n元实二次型正定的充要条件是正惯性指标等于n.,定理2 n元实二次型正定的充要条件是其矩阵的n个特征值 都是正数.,下页,例1. 判定二次型 的正定性,解：,二次型的矩阵为,因A的特征值都大于零，故A正定，即该二次型正定.,下页,定理3 n 阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的各阶顺序 主子式都大于零 ，即,下页,例2. 判定下列二次型的正定性,(1),(2),解：(1)的系数矩阵为,各阶顺序主子式为,(2)的系数矩阵为,阶顺序主子式为,所以，(1)的二次型是正 定二次型；(2)的二次型 不是正定二次型,下页,例3.,解：,二次型 f 的矩阵为,由定理3知,应有,求 t 的取值范围，使下列二次型为正

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