52_5定态、一维势阱.ppt

1、1,提纲,5 一维势阱问题 分立谱, 一维无限深方势阱,* 标准化条件及解的物理意义 分立谱,作业：2-5; 2-6; 2-7,* 薛定谔方程,例2.8 叠加态的物理意义, 定态薛定谔方程,4 薛定谔方程, 力场中粒子的薛定谔方程,2,一、力场中粒子的薛定谔方程,如果粒子在势场 中运动，能量,其薛定谔方程,定义哈密顿算符 （也称能量算符）,则薛定谔方程为,坐标表象中的力学量算符,4 薛定谔方程,3,二、定态薛定谔方程,两边除以 可得,若作用在粒子上的势场 不显含时间 t 时， 薛定谔方程可用分离变量法求特解。 这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。,4,由于空间变量与时间变量相互独立，所以等

2、式两边 必须等于同一个常数，设为E则有：,5,可见E具有能量的量纲 与自由粒子波函数类比 它代表粒子的能量。,薛定谔方程的特解为,时间部分：,由归一化条件可以把A写到空间部分(r)。,6,对应的几率密度与时间无关,由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。 其波函数为定态波函数。,定态薛定谔方程,处于定态下的粒子具有确定的能量E 粒子在空间的概率密度分布不随时间变化 力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化,以后我们只研究定态问题。,7,海森堡Heisenberg 德 1932 Nob 量子力学(矩阵力学) 薛定谔Schrodinger奥 1933 Nob 量子力学（波动力学） 狄拉克D

3、irac 英 1933 Nob 相对论量子力学 泡利 Pauli 美 1945 Nob 泡利不相容原理,海森堡,狄拉克,泡利,对量子力学做出突出贡献的科学家:,薛定谔,8,从数学上来讲： E 不论为何值该方程都有解。,从物理上来讲： E只有取一些特定值，该方程的解才能满足波函数的条件：单值、有限、连续和归一。特定的E值称为能量本征值。特定的E值所对应的方程称为能量本征值方程，相应波函数称为能量本征函数。,下面以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。,5 一维势阱问题 分立谱,定态薛定谔方程,9,已知粒子所处的势场为,粒子

4、在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深方势 阱。,* 其定态薛定谔方程, 一维无限深方势阱,10,(2) 在阱内粒子势能为零，满足：,(1) 在阱外粒子势能为无穷大，满足：,方程的解必处处为零。,根据波函数的标准化条件，在边界上,所以，粒子被束缚在阱内运动。,11,在阱内的薛定谔 方程可写为：,类似于简谐振子的方程，其通解：,代入边界条件得：,所以，,n不能取零，否则无意义,12,从能量的意义看，可有E 0，,但能否E = 0呢？,在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中），,由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零，,所以动量P 0， E 0,

5、n不能取零，否则无意义。,除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外，还有以下原因：,13,因为,结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。,结论：,由归一化条件,14,一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：,讨论, 零点能的存在 称为基态能量, 能量是量子化的，由标准化（边界）条件而来。, 称n为量子数；n(x) 为本征态；En 为本征能量,本征能量：, 能级间隔,15,图示:一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,稳定的驻波能级,n+1个节点,16, 能量本征值En 对应的能量本征函数n(x) 组成完备集。能量量子数 n 从 1至,在坐标表象中任何一个叠

6、加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开,这组完备集满足正交性,所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整的叠加在一起。,实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。,17,例2.8 叠加态的物理意义 (无限深势阱，坐标原点在阱中间p348),求叠加态的概率分布。,12描述的不再是定态，两定态的叠加表示粒子从一定态到另一定态的跃迁。若第三项表示振动电偶极子的电磁辐射。电磁波的频率正是玻尔提出的原子发光的频率。,量子力学能给出粒子在两个定态之间的跃迁几率，并计算辐射强度。,18,例题2.9 若粒子在0，a范围无限深一维方势阱中运动,解：1. 归一化系数,求：1 归一化系数；2 基态的概率密度及最大值 3 0，a/2之间粒子出现的概率 ； 4 （基态） 5 由 验证不确定关系 6 求基态能