3-1,2,3向量范数.ppt

1、第二章 范数理论,一、向量范数,二、矩阵范数与算子范数,三、范数的应用,主要内容,第一节 向量范数,主要内容： 1向量范数的定义及几种常见的向量范数 2向量范数的等价性,如果函数,则称 为向量x的范数。,满足：,1）正定性,且,2）齐次性,3）三角不等式,对应一个实值函数,范数的性质：,对于向量空间 上的任意向量 ,一、向量范数的定义,性质（1）利用范数的齐次性即可证明。 下面证明（2）。根据三角不等式，有,对任意的,，可以利用范数定义向量间的距离如下：,实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，称为2-范数或欧氏范数。,证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)

2、也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。,两边开方即得证。,证明 范数定义中的条件(i)显然成立， 现验证条件(ii)和(iii)也成立,实例2 在向量空间C n中, 向量分量的最大模是一种向量范数，称为 -范数。,反例：设,若令,显然，它满足范数定义中的正定性，但不满足齐次性，因此它不是 中的范数。,定理,1范数，,2范数(或Euclid范数),范数(或最大值范数)。,它们均构成范数。,说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。,引理3.1.2（ 不等式）,p-范数或 范数,利用上面的两个引理可以证明：在向量空间Cn中，

3、有下面的范数：,说明：在p范数中，若取p1时,它不是范数； 1-范数，2-范数是p分别取1，2时的p范数,而对于p范数与范数有下面的关系,定理 在向量空间C n中, 向量范数满足,证明 当X=0时，结论显然成立。设,则,因为,故,所以,说明：,我们也可以通过已知的范数构造新的向量范数.,例,例 设A是n阶正定实对称矩阵，在向量空间Rn中, 定义向量函数为,试证上述函数是向量范数，称为向量的加权范数或椭圆范数。,所以 是向量范数。,证明 因为A是正定对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使得,从而,的连续函数。,对同一个向量用不同的范数度量其值一般是不等的 ，即在不同的范数下，两个向量之间的距离是不等的。

4、但我们将证明它们没有实质上的区别，即范数具有下面所说的等价性,定理:设 是 上的向量范数,则 是,范数等价性,对于两个向量范数 ，如果存在常数和,则称范数 等价,定理 向量空间 中的任意两个向量范数等价。,使得,容易证明：向量范数的等价具有自反性、对称性和传递性.,首先任一向量范数是 上的一个连续函数,证明,定义Dn是C n的单位球面(有界闭集),说明：我们证明 上的任一范数都与2-范数等价，再利用范数等价的传递性即可。,因为,故它在Dn上取到最大值m和最小值M,是连续函数，,再利用范数等价的传递性可知： 上的任意两个范数都等价。,向量范数的等价性表明：按不同向量范数定义的向量的收敛性 具有一

5、致性。,注：对于无穷维线性空间，没有这个性质，如，对于 C0，1上的如下两范数,若取,则显然有：,所以，对于任意两个实数 ，以下不等式都不可能对所有的n都成立：,第二节 矩阵范数,主要内容： 1矩阵范数的定义、性质 2算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 3几种常用的矩阵范数,定义,满足：,（1）正定性,且,设,定义一个实值函数,（2）齐次性,（3）三角不等式,(4)相容性,矩阵范数的性质：,对于两个矩阵范数 ，如果存在常数和,则称范数 等价,使得,矩阵范数同向量范数具有类似的性质，比如等价性：,在 上常用的矩阵范数有：,定理1 矩阵Frobenius范数是酉不变的。,成立,即设,则对任意酉矩阵,

6、定理2 设 是 上的相容矩阵范数，则在 上存在与 相容的向量范数,证明：任取一非零向量,定义向量X的范数为,即矩阵范数与向量范数相容,容易验证 是 上的向量范数，并且,对于 的矩阵范数与 上的同类向量范数，如果有,则称矩阵范数与向量范数是相容的。,算子范数,即由向量范数构造矩阵范数,为了书写简明，均不注明范数属于哪个空间，由范数中的矩阵(或向量)加以区别）,则 是矩阵A的范数并且与 相容。,首先由定义可知,即,再证明定义的第二个等号成立。记,再证明(D1)式中的最大值可以达到。,由 是C n 的连续函数，D n 是C n中的有界闭集，,知 在D n上取到最大值。,则,正定性:,齐次性:,三角不等式和相容性：,设,则存在,使,于是,由,我们称由(D1)式所定义矩阵范数为由向量范数诱导的矩阵范数，也称矩阵的算子范数。,对,从而,说明：由向量导出的矩阵范数是相容范数,存在向量,满足,根据常用的向量1-范数，2-范数及 -范数得到相应的矩