2.3 函数的奇偶性.ppt

1、要点梳理 1.函数的奇偶性,2.3 函数的奇偶性,基础知识 自主学习,f(-x)=f(x),y轴,奇偶函数的定义域有何特点？ 由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个 关于原点对称的-x在定义域中,即说明奇偶函数 的定义域关于原点对称.,f(-x)=-f(x),原点,提示,思考,2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_ (填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是_,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是_； 一个奇函数，一个偶函数

2、的积是_.,奇函数,偶函数,奇函数,相同,相反,基础自测 1.对任意实数x,下列函数中是奇函数的是_. y=2x-3;y=-3x2;y=ln 5x;y=-|x|cos x. 解析 非奇非偶,为偶函数,为奇函数, y=f(-x)=-xln 5=-f(x).,2.已知 是奇函数，则实数a的值等 于_. 解析 函数f(x)的定义域为R, f(0)=0,2a-2=0,即a=1. 3.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a=_. 解析 f(x)=(x+1)(x+a)=x2+(a+1)x+a, 又f(-x)=f(x),a+1=0,a=-1.,1,-1,4.已知函数 ,若f(a)=b,则f(-a

3、)=_. 解析 方法一 要使函数 有意义, 需 0,得-1x1. 函数的定义域为x|-1x1,关于原点对称. 函数f(x)为奇函数, 由f(a)=b,得f(-a)=-f(a)=-b. 方法二 由f(a)=b,得,-b,【例1】判断下列函数的奇偶性,并说明理由. (1)f(x)=x2-|x|+1,x-1,4; (2) (3) 判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是 否关于原点对称,若关于原点对称，再严格按照奇 偶性的定义进行推理判断. 解 (1)由于f(x)=x2-|x|+1,x-1,4的定义域不 是关于原点对称的区间,因此,f(x)是非奇非偶函数.,典型例题 深度剖析,分析,(2) 已知f(x

4、)的定义域为(-1,1),其定义域关于原点对称. 即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.,(3)f(x)的定义域为x|xR,且x0, 其定义域关于原点对称,并且有 即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.,跟踪练习1 判断下列各函数的奇偶性: 解 (1)由 0,得定义域为-2,2),关于原 点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.,(2)由 得定义域为(-1,0)(0,1). 这时 f(x)为偶函数. (3)x1, f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). x1时,f(x)=-x+2,-x-1,f(-x)=-x+2=f(x). -1x1时,f(x)=0,-1-x1,f(-x)=0=f

5、(x). 对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x). 因此f(x)是偶函数.,【例2】已知函数f(x),当x,yR时,恒有f(x+y)=f(x)+ f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)如果xR+,f(x)0,并且f(1)= ,试求f(x)在 区间-2,6上的最值. (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,只 需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇 偶性的应用.,分析,(1)证明 函数定义域为R,其定义域关于原点对称. f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0

6、),得f(0)=0. f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. （2）解 方法一 设x,yR+， f(x+y)=f(x)+f(y)， f(x+y)-f(x)=f(y). xR+，f(y)0, f(x+y)-f(x)0,f(x+y)x, f(x)在（0，+）上是减函数. 又f（x）为奇函数，f（0）=0， f（x）在（-,+）上是减函数. f（-2）为最大值，f(6)为最小值. f(1)= f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值 为-3.,方法二 设x10,f

7、(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0. 即f(x)在R上单调递减. f(-2)为最大值，f(6)为最小值. f(1)= f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1 f(6)=2f(3)=2f(1)+f(2)=-3. 所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值 为-3.,跟踪练习2 已知函数f(x)对一切x,yR都有: f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(-x)+f(x)=0; (2)若f(-3)=a,试用a表示f(12). (1)证明 在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x, 得f(0)=f(x)+f(-x). 再令y=0,得f(x)=f(x)+f(0),f(

8、0)=0, f(-x)+f(x)=0. (2)f(-3)=a,-f(3)=a,f(3)=-a. f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6), f(6)=f(3+3)=2f(3).f(12)=4f(3)=-4a.,【例3】(2009江苏如东期中) 已知定义域为R的 函数 是奇函数. (1)求a,b的值; (2)证明:函数f(x)在R上是减函数; (3)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成 立,求k的取值范围. 首先根据奇函数的定义求出a,b，再利用单 调性解不等式.,分析,(1)解 因为f(x)是奇函数,且定义域为R, 所以f(0)=0,即 解得b=1.

9、解得a=2. (2)证明 由(1)知,即f(x1)f(x2). 函数f(x)在R上为减函数. (3)解 方法一 由(1)知 由上式易知f(x)在(-,+)上为减函数. 又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)-2t2+k.,即对一切tR有3t2-2t-k0. 从而判别式=4+12k0. 上式对一切tR均成立,从而判别式=4+12k0, 解得,跟踪练习3 若定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2 R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x0时， f(x)1. (1)求证:f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增函数; (3)若f

10、(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. (1)证明 定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2 R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立, 令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1得f(0)=1, 令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1, f(x)-1+f(-x)-1=0, f(x)-1为奇函数.,(2)证明 由(1)知,f(x)-1为奇函数, f(-x)-1=-f(x)-1, 任取x1,x2R,且x10.f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1, f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)-f(x1)-1=

11、f(x2)-f(x1)+1. 当x0时,f(x)1 f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+11, f(x1)f(x2),f(x)是R上的增函数.,(3)解 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1.且f(4)=5, f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, f(2)=3. 不等式即为f(3m2-m-2)f(2). f(x)是R上的增函数, 于是有3m2-m-22,解得-1m 不等式f(3m2-m-2)3的解集为(-1, ).,【例4】 （14分）已知函数f(x)的定义域为R，且满 足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数,且当

12、0 x1时，f(x)= 求使f(x)= 在0，2 009上的所有x的个数. (1)只需证明f(x+T)=f(x),即f(x)是以T为 周期的周期函数;(2)由第(1)问可知只需求一个周 期中f(x)= 的x的个数便可知在0,2 009上的x 的个数.,分析,（1）证明 f(x+2)=-f(x)， f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x)， f(x)是以4为周期的周期函数. 4分 （2）解 当0 x1时，f(x)= 设-1x0,则0-x1, f(x)是奇函数，f（-x）=-f（x）, 故f(x)= (-1x1). 8分,又设1x3,则-1x-21, f(x-2)= (x-2). 又f(

13、x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2) =-f(-x)=-f(x)， -f(x)= (x-2)， f(x)= (x-2) （1x3）. 10分,由f(x)= 解得x=-1. 12分 f（x）是以4为周期的周期函数， 故 f(x)= 的所有x=4n-1 (nZ). 令04n-12 009,则 又nZ，1n502 （nZ）, 在0，2 009上共有502个x使f(x)= 14分,跟踪练习4 已知函数f(x)= (a、b、cZ)是 奇函数,且f(1)=2,f(2)3,求a、b、c的值. 解 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x). ax2+10,c=0. f(1)=2, =2.,a+1=2b

14、.又f(2)3, 把2b=a+1代入得 -1a2.aZ,a=0或a=1. 当a=0时,b= Z(舍去); 当a=1时,b=1. 综上所得,a=1,b=1,c=0.,高考中函数的奇偶性常与函数的单调性、最值结合 考查,其中对函数图象的考查也离不开函数的奇偶 性,常以填空题的形式出现,是高考的热点. 1.奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一,为 了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义 的变换形式:,思想方法 感悟提高,高考动态展望,方法规律总结,2.奇函数的图象关于原点对称,并且在两个对称区间 上有相同的单调性. 偶函数的图象关于y轴对称,并且在两个对称区间上 的单调性相反. 3.函数

15、的奇偶性是整个定义域上的性质,因此,讨论奇 偶性首先要看其定义域. 4.解题中要注意以下性质的灵活运用: (1)f(x)为偶函数 f(x)=f(|x|); (2)若奇函数f(x)在x=0时有定义,则f(0)=0.,一、填空题 1.(2009江西改编)已知函数f(x)是(-,+)上的 偶函数,若对于x0,都有f(x+2)=f(x),且当x0, 2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 008)+f(2 009)的值 为_. 解析 f(-2 008)+f(2 009)=f(2 008)+f(2 009) =f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.,1,定时检测,2.(201

16、0江苏南京模拟) 已知y=f(x)是定义在R上的 奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式 为_. 解析 设x0,由f(x)为奇函数知 f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x. 即f(x)=x(|x|-2).,f(x)=x(|x|-2),3.(2010浙江宁波检测)已知函数f(x)=g(x)+2,x -3,3,且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、 最小值分别为M、N,则M+N=_. 解析 因为g(x)是奇函数,故f(x)关于(0,2)对称, 所以M+N=4.,4,4.(2010泰州模拟)f(x)、g(x)都是定义在R上的 奇

17、函数,且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则 F(-a)=_. 解析 令G(x)=F(x)-2=3f(x)+5g(x), 故G(x)是奇函数, 又 解得F(-a)=-b+4.,-b+4,5.(2010无锡模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的 奇函数,则下列函数中是奇函数的是_(填序号). y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x. 解析 f(x)的定义域为R, f(|-x|)=f(|x|), y=f(|x|)是偶函数; 令F(x)=f(-x), 则F(-x)=f(x)=-f(-x)=-F(x), F(x)是奇函数,是奇函数;,令M(x)=xf(

18、x), 则M(-x)=-xf(-x)=xf(x)=M(x), M(x)是偶函数; 令N(x)=f(x)+x, 则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x =-f(x)+x=-N(x), N(x)是奇函数,故、是奇函数. 答案 ,6.(2009重庆)若f(x)= 是奇函数,则a=_. 解析 f(-x)=-f(x),7.(2009江苏如东模拟)定义两种运算: 则函数 的奇 偶性为_. 解析 函数f(x)为奇函数.,奇函数,8.(2009四川改编)已知函数f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+ 1)=(1+x)f(x),则 的值是_. 解析 由xf(x+1)=

19、(1+x)f(x)可得 又-1f(-1+1)=(1-1)f(-1),-f(0)=0f(-1)=0. f(0)=0,0,9.(2009连云港模拟)函数y=f(x)是偶函数，y= f(x-2)在0,2上单调递增,则f(-1),f(0),f(2)的 大小关系是_. 解析 f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称, 又y=f(x-2)的图象是由y=f(x)向右平移2个单位得 到的,而y=f(x-2)在0,2上单调递增, f(x)在-2,0上单调递增,在0,2上单调递减, f(-1)=f(1)且f(0)f(1)f(2), 其大小关系为f(0)f(-1)f(2).,f(0)f(-1)f(2),二、解答题 10

20、.(2009江苏金陵中学三模) 已知f(x)是实数集R 上的函数,且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)已知f(3)=2,求f(2 004). (1)证明 f(x)=f(x+1)+f(x-1) f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则f(x+2)=f(x+1)+1=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1). f(x+3)=f(x+1)+2=-f(x+1)-1=-f(x). f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x). f(x)是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f(2 004)=f(3346)=f(0)=-f(3)=-2.,11.(2009广东东莞模拟)已知函数f(x)=x2+|x-a|+1, aR. (1)试判断f(x)的奇偶性; (2)若 求f(x)的最小值. 解 (1)当a=0时, 函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(