高等数学竞赛讲座.ppt

1、数学竞赛讲座,体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷,有了它,你们才能爬上科学的大山._华罗庚_,解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的,只要经过你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模,当你在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。 _乔冶.波利亚_,不定积分,第 一 讲,注: 不定积分是计箅定积分、重积分、线面积分的一种工具,为解微分方程服务.,1、原函数与不定积分,连续函数一定有原函数,(1) 定义:,一. 基本概念,例2 函数,为,的

2、原函数，当,时，有,，且,，,，试求,.,解：因,，所以,而由,得,，从而,故,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,2、基本积分表 p210,是常数),第一类换元法,二. 积分法,（凑微分法）,(1) 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,(2) 换元法:,第二类换元法,常见类型:,常用代换:,(3) 分部积分法,分部积分公式,选择u的有效方法:L,I,E选择法,L-对数函数；,I-反三角函数；,E-指数函数；,(4)、几种特殊类型函数的积分,（1）有理函数的积分,真分式化为部分分式之和的待定系数法,（2） 三角函数有理式的积分,令,（3）

3、简单无理函数的积分,讨论类型：,解决方法：,作代换去掉根号,(造一个分子是分母的导数.),例9,(97考研题),例10,解,几种常见技巧:,1. 循环现象:,2. 折项抵消法:,注: 遇到不可积的积分只能采用折项抵消法,3. 二项代换法:,4. 递推法:,5. 关于绝对值的积分,例17 设,为,上的连续偶函数，证明,的原函数中恰有一个是奇函数.,证：令,则,为奇函数，设,也是,的一个原函数，且为奇函数，则,且,，,(00年竞赛题),例 18 （2000年省竞赛题）,解：原式,例17(机动),解,定积分,第 二 讲,一. 基本概念:,1. 定义:,2. 性质:,(3),（5）. (估值定理),（

4、6）.（定积分中值定理）,定理2,定理3,3. 定积分存在定理,定理1,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,4、定积分的几何意义,二. 定积分的计算:,4. 几个重要的结论:,(2) 若f(x)是以T为周期的连续函数,则,例 3. （96年省竞赛题）,例 4（2005年考研题）,的方程为,，点（3，2）是它的一个拐点，,与,分别是曲线,在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为,具有三阶连续导数，计算定积分,.,（2，4）.设函数,如图，曲线,直线,解：,例 5 (00省竞赛题) 设连续函数,满足,，求,.,解：设,，,，则,（3分） ,由上两式解出,例 6（96年省竞赛题）,，求,解法1

5、：,（2分）,解法2：,例 7（2000年省竞赛题）,设,，且,，求,解：,例 8 设,求,.,解：,（2000年省竞赛题）,例 9 （1994年考研题）,(1) 设,，则有,故选【D】.,三. 定积分的几类典型问题:,1. 处理变上限定积分:,例 11 设,其中,在,上连续，且,证明:,在,内是单调增加的.,证明：,单调增加.,（02年省竞 赛题）,具有连续导数, 且满足方程, 求,例12 设,(99年考研题).,例13 .设,是连续函数, 证明:,只与s有关, 其中t0,s0.,(87年考研题).,设,8.,.,例 14 （2005年考研题）,在0,1上的导数连续，且,证明：对任何,，有,

6、设,.,证法一：设,则,在0,1上的导数连续，并且,由于,时；,因此,，即,在0,1上单调递减.,注意到,而,故,因此,时，,，由此可得对任何,有,.,证法二:,由于,时，,，因此,在0,1上单调递增，,又由于,时，,，因此,从而,例15 设,在,内连续, 对任意,满足,求,.,例 16（91年省专科竞赛题） 设,上的单调减少的连续函数，试证明：,证：记,，则,（2分）,（2分）,应用积分中定理，知存在,，使得,. ,. ,由于,在,上单调减少，故,，从而,（2分） ,在,上单调增加，又,，,. 得证.,例 17 设,在,上连续，且,，证明,在,上至少有两个零点.,证明： 令,在,上连续，,，

7、由罗尔定理，,，使,即,（00年省竞赛题）,(技巧),假设,在,上只有一个零点,，因,，可知,在,与,上异号，因而当,，且,时,（或0）.,故,从而导出矛盾，故在,上,至少有两个根（零点）.,例 18（1999年考研题）,连续，且,已知,求,的值.,，则,，,于是,设函数,解： 令,上式两边x求导，得,例 19 证,证:,2. 关于积分等式的证明:,方法: (1) 变量代换, (2) 分部积分, (3) 微分法 (4) 中值定理。,例 20 设,在,内连续,为偶函数, 且满足,(1).证,(A常数).,(2) 计算,例 21 （98年省竞赛题）,在,上连续，且,试证：存在,，使,.,证明：令,

8、由于,，由罗尔定理得，存在,使得,即:,.,设,(技巧),例 22 (96年省竞赛本科三级),3. 关于积分不等式的证明:,法1: 利用定积分性质.,例 23,在,上连续,且,证,平方得结论.,例24 设,证明,(1),(2),(01年考研题),例 25（94年省竞赛题）,证明：,因而,因而,即,.,例 26 设,在,上单调增加且连续可微, 证明:,(98年省竞赛题),.,，,证法 1:,，故,在,上单调增加，,例 27（96年本科三级竞赛题）,在区间,上可积，当,时,又,，求证,.,证：以,代入得,（3分）,设,例 28 设,在,上连续, 证:,(2) 利用积分中值定理:,例 29 设,在,

9、上连续,在,内可导, 且,证明: 存在,使,在,上连续, 在,内可导, 且,证,例 30 设,(技巧),例 31 证柯西积分不等式:,(机功),四. 广义积分:,注: 技巧: 化定积分作,例 35（1991年考研题）,求,.,解：,令,，则,故 原式,例 36 求,（,为实数）.,解法 1：,（2000年省竞赛题）,解法二： 原式,(02省竞赛题),第 三 讲,定积分应用,一、定积分应用的常用公式,1 平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,(3) 参数方程所表示的函数,(4) 极坐标情形,二. 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,三. 平面曲线的弧长,弧

10、长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(1) 细棒的质量,五. 物理应用,四. 旋转体的侧面积,(2) 变力所作的功,(3) 水压力,(5) 引力,(10) 函数的平均值,已知点,与,的直角坐标分别为,与,.线段,绕,轴旋转一周所成的旋转曲面为,.求由,及两平面,所围成的立体体积,.,解：直线,的方程为,，即,在,轴上截距为,的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，,此截面与,轴交于点,，与,交于点,，故圆截面半径,例 1（1994年考研题）,从而截面面积,，旋转体体积,例 2、（2004年考研题）,解：（I）,（II）,例3 （2003年考研题）,轴围,所以该切线的方程为,因此所求

11、旋转体的体积为,.,(2) 方法2:,例6 （96年本科三级竞赛题）,经过点,且位于,轴上方.就数值而言，,上任何两点之间的弧长都等于该弧以及它在,轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求,的方程.,解：在,上任取定点,，则,，对,求导得,即,分离变量得,.积分得,（4分） 以初始条件,代入得,，所求,的方程为,设曲线,例 7 设一容器由平面曲线,绕,轴旋转而成，今以10cm3/s的速度向容器内倒水， 求水面上升到60cm时水面上升的速度.,解： 设经过时间,秒，水面上到高度,cm，则此时贮水的体积为,时,故当,时，水平面上升速度为,cm/s.,（02年省竞赛题）,例 8 （94年省竞赛题）,，求曲

12、线,与直线,所围面积的最大值与最小值.,解：,（4分） 将,代入，,（5分）,解出,，因而,因而所围面积的最大值为,，最小值为,. （10分,例9 (04竞赛题）设D：,在D的边界,上任取点P，设P到原点的距离为t，作PQ垂直于,交D的边界,1）试将P，Q的距离,2）求D绕,旋转一周的旋转体体积。,解: (1),，则,的方程为,由,解得,（令,例11 (04省竞赛)设,在a, b上连续，,在,内二阶可导，,求证：1）在,内至少有一点,2）在,内至少有一点,应用积分中值定理，,，使得,，,证1:,令,，则,在,上连续，在,据罗尔定理，,，使得,(2) 令,，则,，且,由罗尔定理，,，显见,使得,而,例 9 （1998年考研题）,是区间,上的任非负连续函数.,，使得在区间,上以,为高的矩形面积，等于在区间,上以,为曲边的曲边梯形面积.,设,（1）试证存在,（2）又设,在区间,内可导，且,证明（1）中的,是唯一的.,，,证法一：（1）设,，且,.对,在区间,上应用罗尔定理知，存在一点,使,，因而,即矩形面积,等于曲边梯形面积,则,（2）设,则当,时，有,所以,在区间,内单减少，故此时（1）中的,是唯一的.,，,例 10（1988年考研题） 设函数,在区间,上连续，且在,内有,. 证明：在,内存