第4章 根轨迹分析法.ppt

1、第四章根轨迹分析，执行概要，4.1根轨迹和根轨迹方程，4.2绘制根轨迹的基本规则，4.3控制系统的根轨迹分析，4.5设计实例：激光控制系统，小结，4.4根轨迹的MATLAB实现。根轨迹法是一种分析和设计线性时不变控制系统的图解法，使用起来非常简单，尤其是在分析多回路系统时。本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本规则，然后介绍控制系统的根轨迹分析方法。最后，介绍了如何利用MATLAB软件解决根轨迹的绘制、分析和修正问题。4.1根轨迹和根轨迹方程，根轨迹所要解决的问题也是系统控制过程的性能分析和计算。由于控制系统的稳定性是由闭环极点唯一决定的，很难人工求解高阶系统的特征根，且其

2、响应异常，这限制了时域分析方法在二阶以上控制系统中的综合应用。根据反馈系统中开环传递函数和闭环传递函数的本质关系，埃文斯提出了一种新的方法，即根轨迹法，从开环传递函数直接判断闭环特征根，从而更好地解决了高阶系统的平稳性、快速性、稳态误差分析和性能指标估计问题。4.1.1根轨迹的概念，根轨迹法是分析和设计线性时不变系统的简单图解法，也是经典控制理论解决问题的基本方法之一。所谓根轨迹是指当系统中的一个或几个参数改变时(通常从零到无穷大)，闭环特征的根在S平面上改变的轨迹。图4-1-1所示的二阶系统用于解释什么是根轨迹，系统的开环传递函数，以及图4-1-1所示的二阶系统的结构图，其中k=2K。这个公

3、式是根轨迹法中常用的传递函数的标准形式。开环中有两个极点，开环中没有零点。如果系统的闭环传递函数为，则闭环特征方程为，通过求解该方程得到的闭环特征根(即闭环极点)为，因此K从，则K与系统的闭环极点有如下关系：1)当k=0时，此时闭环极点为开环极点。(2)当，都是负实数，并且位于负实数轴的一部分上。(3)当k=1，=，负实数的两个闭极点重合。那时，两个闭环极点变成了一对共轭复极点。的实部不随k而变化，位于通过该点并平行于虚轴的直线上。(5)当、这时，它将趋向于无穷大。综上所述，当k从变化时，所示控制系统闭环极点在S平面上运动的根轨迹如图4-1-2所示。轨迹是不断变化的，它有两个分支，终点在无穷远

4、处。这是系统的根轨迹。图4-1-2中的根轨迹图不仅清楚地显示了闭环极点的变化以及当参数K变化时对闭环极点分布的影响；而且可以直观地全面分析或评价系统的动态性能。通过系统根轨迹图，我们可以分析系统的动态性能和稳态性能如下：图4-1-2二阶系统的根轨迹。(1)当根轨迹增益K从零变化到无穷大时，根轨迹在S平面的左半部，因此系统对于所有K值都是稳定的。(2)当01时，闭环特征根为共轭复数根，系统为欠阻尼，其超界响应为衰减振荡过程。(5)开环传递函数有一个极点位于坐标原点，所以系统为型，其在阶跃作用下的稳态误差为零。从分析过程中可以看出，通过系统的根轨迹图可以很容易地分析系统的动态性能和稳态性能。缺点是

5、通过直接求解特征方程的根来画出系统的根轨迹，这对于高阶系统来说是非常沉重和不现实的。为了解决这个问题，下一节将系统的开环传递函数为，闭环传递函数为，闭环特征方程为，即满足方程4-1-1的s的值必须是根轨迹上的一个点，所以公式(4-1-1)称为根轨迹方程。根轨迹方程是闭环特征方程。(4-1-1)，将公式改为、(4-1-2)、(4-1-3)，其中公式(4-1-2)为负反馈根轨迹方程，称为1800轨迹；公式(4-1-3)是正反馈根轨迹方程，称为00根轨迹。以负反馈根轨迹为例，绘制根轨迹实质上是求闭环特性方程的根，即求满足根轨迹方程s的值。因此，从公式(4-1-1)两边的幅值和相角分别相等的条件，我们

6、可以得到、(4-1-4)、(4-1-5)和，其中k=0、我们称方程(4-1-4)和方程(4-1-5)为根轨迹的振幅条件和相角条件，或振幅方程或相角方程，它是绘制根轨迹的重要依据。如果满足上述振幅和相角条件，则S平面上的任何一点都是系统特征方程的根，并且该点必须在根轨迹上。假设开环传递函数中有m个零点和n个极点，根轨迹方程(4-1-1)写成零点和极点的标准形式，方程中有根轨迹增益；开环极点和零点。因为它是复变量s的函数，公式(4-1-6)是向量方程，所以它可以写成振幅条件和相角条件的另一种形式，它们分别是、(4-1-7)、(4-1-8)和，其中k=0，此外，从这两个条件可以看出，幅度条件与根轨迹

7、增益相关，但相位角条件是独立的。当满足相角条件的S值被带入振幅条件时，总是可以获得相应的值。也就是说，如果s值满足相角条件，它必须同时满足振幅条件。因此，相角条件是确定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而振幅条件只是充分条件。根据相角条件画根轨迹就足够了，而振幅条件主要用来确定根轨迹上每个点对应的根轨迹增益值。4.2、4.2.1、4.2.2、4.2.3、4.2.1、4.2.3、4.2.1、4.2.1、4.2.1、4.2.3、4.2.1、4.2.3、4.3、4.2.3、4.2.3、4.3、4.3、4.3、4.3、4.3、4.3、4 . 3、4.2.1、4 . 3、4 . 4、3、3、3、规则在工程实

8、践中绘制根轨迹时，通过直接求解闭环特征方程的根或通过第4.1节例1的启发式方法找到闭环极点，而是应用基于根轨迹方程的根轨迹规则，来绘制系统的根轨迹图，不是一种繁琐的方法。在下面的描述中，假设所研究的变量参数是系统的根轨迹增益。如果变量参数是系统的其他参数，这些基本规则在适当的转换后仍然适用。需要指出的是，由这些基本规则绘制的根轨迹的相位角遵循1802k的条件，因此称为180轨迹，相应的规则也称为180轨迹的绘制规则。绘制根轨迹的基本规则如下：N阶系统的特征方程有N个特征根。当开环增益从0变化到无穷大时，N个特征根将跟随变化，并且N个根轨迹将不可避免地出现在S平面上。如果闭环极点是实数，它位于S

9、平面的实轴上；如果是复数，就会出现共轭，实轴是彼此的镜像，所以根轨迹必须与实轴对称。规则3走线从开环极点开始，在开环零点和无穷大结束(m走线在开环零点结束，而(n-m)走线在无穷大结束)。规则4实轴上的根轨迹：实轴上的一个截面，如果右开环实数零和极点数之和是基数，那么该截面一定是根轨迹。在示例4-2-1中，已知单位反馈系统的开环传递函数是，并且原始系统的开环传递函数是，这可以根据根轨迹的相位方程来证明，并且在此省略。尝试创建一个系统根轨迹在公式中，T 1开环有两个极点：开环有一个零点：2n=2，m=1，系统有两条根轨迹：当，两条根轨迹从开环的极点开始；因为纳米，一个根轨迹趋向于开环零，另一个趋

10、向于无穷大。见图4-2-1。五个根轨迹的规则渐近线：如果控制系统的开环零点m的数量小于开环极点n的数量，则同时存在趋向于无穷大的(n-m)根轨迹，并且这些趋向于无穷大的(n-m)根轨迹的方向由渐近线确定。控制六个轨迹和实轴的交点。根轨迹的两个或多个分支相交并在S平面上立即分离的点称为根轨迹的分离点(或交汇点)。根轨迹和实轴交点的坐标方程为：(4-2-3)，示例4-2-2知道系统的开环传递函数，其中分别是系统开环零点和极点的数值。通常，如果根轨迹位于实轴上两个相邻开环极点之间，则至少有一个分离点。如果根轨迹位于两个相邻的开环零点之间，那么至少有一个交点。注：公式(4-2-3)可能求解出几个值，我

11、们需要根据实际情况丢弃不在根轨迹上的值。试着找出系统闭环根轨迹的分离点坐标。解的零点和极点的标准形式是，根据公式(4-2-3)，图4-2-2中4-2-2系统的根轨迹是期望的分离点，如果它不在根轨迹上，它将被丢弃。在坐标标尺的同一平面上画出开环零点和极点，得到该系统的根轨迹，如图4-2-2所示。根据规则15，在本例中有两个根轨迹分支，从开环复极点(-1)开始，最后在零点(-2)和无穷远处。在的真正轴上，有一个交汇点。规则7根轨迹的起始角和终止角：根轨迹在远离开环极点的位置的切线与实轴的正方向之间的角度称为起始角。例4-2-3:设置单元反馈系统的开环传递函数。尝试绘制系统的粗略根轨迹图。代表；进入

12、开环零点的根轨迹的切线与实轴的正方向之间的角度称为终止角，由下式表示。的角度，可根据以下关系计算：=，=，(4-2-4)，(4-2-5)，=，=，求解开环极点：开环零点：实轴上的(0，-1.5)和(-2.5，-1.5)是根轨迹部分(2)的渐近线：n=4，m=3，因此只有一个趋于无穷大的根轨迹，取k=0，并且(3)根轨迹没有分离点()。=，=，(k=0)，同样是共轭复数，所以、根轨迹如图4-2-3所示，八个根轨迹与虚轴的交点是规则的：如果根轨迹与虚轴相交，则意味着闭环极点中的某些点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯须根、或、交点处的值之和可由劳斯判据确定，或将其代入特征方程得到、然后该值和相应的临界

13、根轨迹增益值可由公式(4-2-6)求解。4-2-4已知系统开环传递函数，并求出根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特性方程是、它是通过将上述公式、和规则9的和与根的乘积代入而得到的：在nm的一般情况下，系统的闭环特性方程可以以不同的形式表示为、(4-2-7)，其中它是闭环特性根。当n-m时，特征方程第二项的系数是不相关的。无论什么值，开环中n个极点的和总是等于闭环方程中n个根的和，即、(4-2-8)。当反馈系统的部分闭环极点已知时，可以根据根的和与积确定S平面上其他闭环极点的分布位置，也可以计算出系统闭环极点对应的参数值图4-2-4显示了一些简单系统的开环零点、开环极点及其对应的根轨迹，可供读者参考

14、。4.2.2绘制常规根轨迹，以根轨迹增益(或开环增益k)为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹。在本节中，我们将说明如何通过应用上述根轨迹绘制规则来绘制控制系统的根轨迹。众所周知，系统的开环传递函数是，当K按根轨迹定律变化时，试画出闭环系统的根轨迹。解决方案：原始开环传递函数有四个极点：开环没有零点。以下按规则的顺序为根轨迹相关参数。(1)因为有四个开环极点，所以有四个根轨迹；(2)确定实轴上的根轨迹：实轴上的(020)之间是根轨迹段；(3)因为n=4和m=0，所以四个根轨迹也趋于无穷大。渐近线的坐标和夹角为：=-6、可以看出，四条渐近线是通过点-6并分别与正实轴形成的两条直线。(4)实轴上的分

15、离点坐标之间必须有分离点。根据分离点公式，有：解是s1=-1.51。其他词根略被省略。(5)根轨迹的起始角需要开环中有一对共轭复极点的根轨迹的起始角。从起始角度公式、=、=、=，以K=0、=、图4-2-5为例。因为它是根轨迹和虚轴的交点、(6)的共轭复数根。该系统的特征方程为、将其代入上述公式即可得到，系统的根轨迹如图4-2-5所示。在示例4-2-6中，让负反馈系统的开环传递函数为，并尝试绘制系统的根轨迹图。解：(1)从已知的G(s)H(s)获得四个开环极点。(2)给定系统的开环零点数m=0，开环极点数n=4，给定系统的根轨迹图有四个分支。(3)因为n-m=4，从开环极点开始的四个根轨迹分支都随着参数延伸到S平面的无穷远处。给定系统的根轨迹图有四条渐近线。(4)根据公式(4-2-1)得到它们在实轴上交点的坐标，它们与实轴正方向的夹角分别为、(l=0，1，2，3)。(5)在实轴上，0，-273个线段属于根轨迹。(6)从开环极点开始，当两个根轨迹分支与实轴分离时，分离点的坐标分别