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文档简介

1、第二章 复变函数,2 初等解析函数,1、指数函数 2、对数函数 3、三角函数 4、幂函数,指数函数的定义：,我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。 要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：,由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有,所以，,因此，,我们也重新得到欧拉公式：,初始条件为，,指数函数的基本性质,对数函数的定义：,和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：,由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上，有：,对数函数的主值：,相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：,则这时，有,对数函数

2、的基本性质,例1,例2,例3,三角函数的概念:,由于Euler公式，对任何实数x，我们有：,所以有,因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函 数如下：,三角函数的基本性质:,则对任何复数z，Euler公式也成立：,关于复三角函数，有下面的基本性质： 1、cosz和sinz是单值函数； 2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:,3、cosz和sinz是以 为周期的周期函数:,证明：,由此不能得到 例如z=2i时，有,6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：,证明：,7、cosz和sinz在复平面的零点：cosz在复平面的零点是， sinz在复平面的零点是,8、同理可以定义其他三角函数：,9、反正切函数：由函数 所定义的函数 w称为z的反正切函数，记作,由于 令 ，得到,从而 所以,反正切函数是多值解析函数,幂函数的定义:,利用对数函数，可以定义幂函数：设是任 何复数，则定义z的次幂函数为,当为正实数，且z=0时，还规定,由于,因此，对同一个 的不同数值 的个数等于不同数值的因子 个数。,幂函数的基本性质：,设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个 解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地 有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则， 的这个单值连续分支在G内解析，并且,其中 应当理解为对它求导数的那个分支， lnz应当理解为对数函数相应的分支。

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