09机械振动.ppt

1、1,第九章 机械振动,物体在平衡位置附近的重复往返运动叫机械振动, 振动必然表现为某些物理量的周期变化 广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而且在空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动 在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的 简谐振动是最基本、最简单的，各种复杂振动都可以看作若干简谐振动的合成,2,9.1简谐振动的动力学特征,几点注意和说明 所谓回复力或回复力矩，就是迫使物体回到平衡位置的力或力矩 所谓平衡位置，就是振动物体所受的力或力矩等于零的位置，一般把坐标

2、原点取在平衡位置 简谐振动的两个动力学特征完全等价,动力学特征,物体在线性回复力或线性回复力矩的作用下运动， 回复力的形式 f = - kx ，回复力矩的形式= - c,动力学方程为二阶齐次线性常微分方程 设Q为振动物体的位移，则方程形式为：,3, 简谐振动实例,弹簧振子：忽略各种阻力和弹簧质量的理想模型 平衡位置：弹簧原长，选为原点 ；回复力：f = - kx,令,单摆：忽略阻力和摆线质量，摆锤可 视为质点，摆角小于5度,平衡位置：竖直位置；如当作角振动， 选oo为角坐标的参考线；如当作线 振动，选o为x轴的坐标原点 回复力矩：,由转动定理：,令,由牛二定律：,4,证明：在平衡位置 , 取为

3、原点o,所以与水平弹簧振子一样也是简谐振动 动力学方程为,不计阻力和弹簧质量，试证明竖直弹簧振 子的运动也是简谐振动,回复力：,由转动定理,扭摆 ：忽略各种阻力，忽略弹性杆的质量 回复力矩= - c,5,9.2简谐振动的运动学,动力学方程 的解就是运动学方程,简谐振动的运动学方程,据常微分方程理论，其解可写为：,0由振动系统本身决 定，和A由振动的初始条件决定，x 可以是线位移，也可以是角位移,解的正确性可进行验证:,6,描写简谐振动的物理量,圆频率0：单摆 ,弹簧振子 ,扭摆,相位 用以确定振动状态，或比较振动步调,t=0时的相位叫初相，用以确定振动的初始状态,简谐振动的周期性,频率v：单位

4、时间完成全振动的次数，v =1/T，单位 s-1 = Hz,振幅A描述位移的变化范围，A=xm，A0,7,由初始条件确定A和,设t=0时，x=x0，v=v0，代入位移和速度表达式,由即可求出A和，注意：A为正值，要同时 满足两式，习惯上|0,代入初始条件：,将A=2代入,得：,8, 简谐振动的矢量表示法,简谐振动可用以旋转矢量 来表示，在任意时刻t，它 在x轴上的投影就是简谐振动的位移,若 则相位相同,若 则相位相反,一般 即超前或落后的角度不大于,比较如下两个振动的步调：,9, 简谐振动的相平面表示和x-t图像,画 的x-t图像：,令,据余弦函数曲线的特点和周期,以 秒为时间单位，先画 的图

5、像， 然后将x 轴向左平移 即可,10,9.3 简谐振动的能量,简谐振动的动能、势能和总能 在简谐振动中只有保守内力做功，因此，动能和势能互相转换，总机械能保持不变。 以弹簧振子为例：,11,例题：将水平弹簧振子从平衡位置拉开4.010-2m后释放，水平拉力为24N，求：总机械能； x=A/2时的动能和势能,解：由题意,12,用能量守恒定律求简谐振动运动学方程,取正号，令,以弹簧振子为例 ：,13,弹簧质量对固 有频率的影响,已知弹簧原长L，质量ms，劲度系数k，振子质量m ， 设弹簧质量及形变沿 x 轴均匀分布，在距固定端l处取 一线元 dl ，振子位移为 x 时，dl 相对固定端的位移为

6、，速度为 ，动能为,整个弹簧的动能：,其中， ，称为弹簧的等效质量,整个振动系统的动能：,水平弹簧振子的总质量相当于M=m+m, 所以振子的固 有频率为：,14,9.4 简谐振动的合成,合振动：,同方向、同频率简谐振动的合成,两种特殊情况：,振动与其它运动形式一样也可以进行合成与分解，如 琴弦的振动是由若干种频率的简谐振动合成的，我们 研究几种基本而重要的简谐振动的合成,15,同方向、不同频率简谐振动的合成,m , n 为整数，mn 用 x-t 图像合成最方便 如：T1=2s, T2=3s,结论：合振动不是简谐 振动，但有周期性，合 振动周期为两个分振动 周期的最小公倍数,16,合振幅做周期性

7、变化的现象叫拍，合振幅大小每变化 一个周期叫1拍，单位时间内拍出现的次数叫拍频,两个分振动频率很高,又非常接近,即,可视为振幅做周期性缓慢变化的准简谐振动，又称调幅 振动,17,方向垂直、同频率简谐振动的合成,将两个式子展开，消去参数t, 可得质点 运动的轨迹方程（具体展开见教材）：,在一般情况下，为一椭圆方程，椭圆的形状、大小， 长、短轴方位，由振幅和相位差决定,18,讨论几种 特殊情况,19,方向垂直、不同频率简谐振动的合成,若分振动频率不成整数比，则合运动轨迹不能形成稳定的封闭曲线，质点运动不具有周期性 若分振动频率成整数比，则合运动轨迹为一稳定的封闭曲线，质点运动具有周期性，轨迹图形称

8、为利萨如图形，教材图-9.17给出了几种利萨如图形 图形的花样与振幅、初相、频率比有关,20,用作图法画利萨如图形 T1:T2 = 1:2 A1:A2 = 3:2 1 = -/2 2 = /2,21,因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动把弹簧振子放在水、甘油、沥青中，振子所做的振动就是三种不同的阻尼振动,阻尼振动的动力学方程,动力学方程:,9.6 阻尼振动,显然，为二阶齐次线性常微分方程，根据微分方程理论， 其解（即运动学方程）按大小有三种情况,阻力系数与物体形状、媒质有关,22,振幅按指数规律衰减的振动，不是周期 运动,是往复运动, 阻尼振动的运动学特征,越大, 振幅 衰减越快, 相 隔

9、一周期振幅比的对数，叫做对数减缩,无往复性, 经较长时间单调返回平衡位置,无往复性，能很快地返回平衡位置,23,9.7 受迫振动,受拍振动的动力学方程,据牛顿第二定律：,动力学方程:,振动系统在连续的周期性外力（驱动力） 作用下的振动就是受拍振动,显然，其动力学方程为二阶非齐次线性常微分方程,24,受迫振动的运动学特征,前一项即为阻尼振动方程的解，经一段时间后就衰减掉了， 系统达到稳定状态后,这是一个与简谐振动相似的等幅振动，但振动频率是由驱动 力决定的，并非由振动系统本身决定，A0,也并非由初始条 件决定，将代入中，可求得（具体过程见教材）,注意：由于驱动力的初相为零（ ），因而是 受迫振动的位移与驱动力的相位差,25, 位移共振,位移振幅A0是驱动力频率的函数，当位移振幅达极大值时，即发生位移共振，对应的频率叫位移共振频率，用r表示 . 求式分母对的导数：,将代入中，得,将代入中，得,由可知： , 当0时, r=0 Ar，r-/2，即位移落后驱动力/2,26,受迫振动的能