6.2数理统计中几种常用的分布.ppt

1、1.标准正态分布 2. 2分布 3. t分布 4. F分布,6.2 数理统计中常用的分布,正态总体是最常见的总体, 本节介绍 的几个抽样分布均对正态总体而言.,设XN(0,1),对任给的 , 01,称满足条件,1. 标准正态分布,的点z为标准正态分布的上分位点,z,定义:,例1 求z0.05,解:,PXz0.05,=1PXz0.05,=10.05,=0.95, PX1.64=0.9495 PX1.65=0.9505, z0.05(1.64+1.65)/2=1.645,公式: (z)=1,常用 数字,设Xi N(0,1) (i=1,2,.,n), 且它们相互独立,则称随机变量,2 2分布,定义:

2、,服从自由度为n的2分布,记为22(n),2分布最常用的是拟合优度检验,5,一般,其中，,在x 0时收敛，称为函数，具有性质,6,10 设 Y1 2 (m), Y2 2 (n), 且 Y1 , Y2 相互独立，, 2 分布的基本性质,则, 2 分布的可加性,Y1 +Y2 = ?,20 若 Y 2 (n),则 = n , = 2n .,EY DY,= 1,= 3,30设 X1, , Xn 相互独立, 且都服从正态分布 N( , 2),40 若Y 2 分布,近似服从 N(0,1).,应用中心极限定理可得,则,则当 n 充分大时,设22(n),其密度函数为f(x),对于给定的正数 (01),称满足条

3、件,的点2(n)为2(n)分布的上分位点,2分布的上分位点:,当n充分大时,例2 (练习九.五) 设XN(,2),(X1,X2,.,X16)是取自总体X的样本,求概率:,解:, X1,X2,.,X16相互独立,且,0.950.01,=0.94,10,例3 设总体,的样本,为总体 X,解,故,因此,设XN(0,1),Y2(n),且X与Y相互独立,则称随机变量,3 t分布,定义:,服从自由度为n的t分布,记为Tt(n),T 的密度函数为：,t分布的上分位点:,设Tt(n),其密度函数为f(t),对于给定的正数 (01),称满足条件,的点t(n)为t分布的上分位点,t(n),t分布的性质:,(1)

4、其密度函数f(t)是偶函数,(3) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数,即,(2) t1(n)= t(n),当n45时, t(n)z,14,且 XN(2 , 1 ), Y i N(0 , 4 ),i = 1, 2, 3, 4 ,设 X, Y1, Y2, Y3, Y4 相互独立,例4,令,解 X-2 N(0 , 1 ),i = 1, 2, 3, 4 ., t(4),即 Z 服从自由度为 4 的 t 分布.,求 Z 的分布.,由 t 分布的定义,Y i / 2N(0 , 1),15,题 设随机变量 X 与Y 相互独立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1,

5、 Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求 统计量,所服从的分布.,解,16,从而,17,t分布用于在小样本场合下的正态分布(大样本场合下可以用正态分布来近似),有时候在信息不足的情况下,只能用t分布,比如在整体方差不知的情况下,对总体均值的估计和检验通常要用t统计量,18,记作 F F(m, n) .,由F 分布的定义可见，若 F F(m, n)，,定义:设随机变量 X 与Y 独立，,所服从的分布为第一自由度为 m , 第二自由度为 n 的 F 分布，,4、F 分布,则 F 的概率密度为,则称统计量,其图形 参见172,F分布多用于比例的估计和检验,F分布的上分位点:,

6、设FF(m,n),其密度函数为f(x),对于给定的正数 (01), 称满足条件,的点F(m,n)为F分布的上分位点,F(m,n),F分布的性质:,(1) 若FF(m,n),则,(2),1 =PFF1(m,n),（3） 若 X t (n), 则 X 2 F(1, n);,21,例5 设 F F(24, 15) ,求 F1, F2, F3, 使其分别满足,解 (1) 由 m =24, n =15, = 0. 025 , 查 P342 附表7 知,(2) 无法直接查表获得,但,由 F 分布性质知,(3) F3 = F0. 95(24,15),查表可知,F 1 = F0.025 (24 , 15)= 2.70 ;, F2 = 1 / 2. 44 = 0.41 ;,