2014届高三数学一轮复习：垂直关系

1、,1直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的 一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直,任何,(2)定理：,相交直线,垂直,于一个平面,a,b,2平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直,直二面角,(2)定理：,垂线,交线,3二面角,两个半平面,棱,面,垂直于,直角,动漫演示更形象，见配套课件,小题能否全取 1(教材习题改编)已知平面，直线l，若， l，则 () A垂直于平面的平面一定平行于平面 B垂直于直线l的直线一定垂直于平面 C垂直于平面的平面一定平行于直线l D垂直于直线l的平面一定与平面、都垂直 解析：对于A中可与平行或

2、相交，不正确 对于B中，可与垂直或斜交，不正确 对于C中，可与直线l平行或相交，不正确,答案：D,2.(2012厦门模拟)如图，O为正方体 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的 中心，则下列直线中与B1O垂直的 是 () AA1DBAA1 CA1D1 DA1C1,解析：易知AC平面BB1D1D. A1C1AC，A1C1平面BB1D1D. 又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O.,答案：D,3(2011浙江高考)下列命题中错误的是 () A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D

3、如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面,解析：对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项易知均是正确的 答案：D,答案：,1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：,2在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理 3几个常用的结论： (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直,垂直关系的基本问题,例1(2013襄州模拟)若m，n为两条不重合的直

4、线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m、n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，则n；m，n在平面内的射影互相垂直，则m，n互相垂直其中的假命题的序号是_,自主解答显然错误，因为平面平面，平面内的所有直线都平行，所以内的两条相交直线可同时平行于；正确；如图1所示，若l，且nl，当m时，mn，但n，所以错误；如图2显然当mn时，m不垂直于n，所以错误,答案,解决此类问题常用的方法有：依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；否定命题时只需举一个反例寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选,

5、1(2012长春模拟)设a，b是两条不同的直线，是两 个不同的平面，则下列四个命题： 若ab，a，b，则b；若a，a，则；若a，则a或a；若ab，a，b，则. 其中正确命题的个数为 () A1B2 C3 D4,解析：对于，由b不在平面内知，直线b或者平行于平面，或者与平面相交，若直线b与平面相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“ab”相矛盾，因此正确对于，由a知，在平面内必存在直线a1a，又a，所以有a1，所以，正确对于，若直线a与平面相交于点A，过点A作平面、的交线的垂线m，则m，又，则有am，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此正确对于，过空间一点O分别向平面、引垂线a1、b1，

6、则有aa1，bb1，又ab，所以a1b1，所以，因此正确综上所述，其中正确命题的个数为4.,答案:D,直线与平面垂直的判定与性质,(1)证明：PH平面ABCD；,(3)证明：EF平面PAB.,自主解答(1)证明：因为AB平面PAD，PH平面PAD， 所以PHAB. 因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD. 因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD， 所以PH平面ABCD.,证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理 (2)利用判定定理的推论(ab，ab) (3)利用面面平行的性质(a，a) (4)利用面面垂直的性质 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线

7、垂直于另一个平面,2(2013启东模拟)如图所示，已知PA 矩形ABCD所在平面，M，N分别 是AB，PC的中点 (1)求证：MNCD； (2)若PDA45，求证：MN平 面PCD.,(2)连接PM，MC，PDA45， PAAD，APAD. 四边形ABCD为矩形，ADBC， APBC. 又M为AB的中点，AMBM. 而PAMCBM90， PAMCBM. PMCM. 又N为PC的中点，MNPC. 由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.,面面垂直的判定与性质,例3(2012江苏高考)如图，在直三 棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D， E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于

8、点 C)，且ADDE，F为B1C1的中点 求证：(1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直线A1F平面ADE.,自主解答(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC， 又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1， CC1DEE， 所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE， 所以平面ADE平面BCC1B1.,(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1FB1C1. 因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， 所以CC1A1F. 又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1， 所以A1F平面BCC1B

9、1. 由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE， 所以A1F平面ADE.,1判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义 (2)面面垂直的判定定理(a，a) 2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,空间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系是整个立体几何的基础，也是立体几何的重点，是考查空间想象能力的“主战场”，所以空间直线、平面的位置关系，特别是线面、面面的平行与垂直关系的判定与证明，成为立体几何复习的重点内容之一，每年的高考数学试题对立体几

10、何的考查，一方面以选择题、填空题的形式直接考查线线、线面、面面的位置关系，另一方面以多面体、棱柱、棱锥为载体，判断与证明几何体内线面的平行与垂直关系,“大题规范解答得全分”系列之(六),典例(2012山东高考满分12分)如 图，几何体EABCD是四棱锥，ABD 为正三角形，CBCD，ECBD. (1)求证：BEDE； (2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.,动漫演示更形象，见配套光盘,空间位置关系证明的答题模板,教你快速规范审题,1审条件，挖解题信息,1审条件，挖解题信息,2审结论，明解题方向,3建联系，找解题突破口,教你准确规范解题,(1)如图，取BD的中点O，连接

11、CO，EO. 由于CBCD，所以COBD. (1分) 又ECBD，ECCOC， CO，EC平面EOC， 所以BD平面EOC. (2分) 因此BDEO. 又O为BD的中点， 所以BEDE. (3分),(2)法一：如图，取AB的中点N，连 接DM，DN，MN. 因为M是AE的中点， 所以MNBE.(4分) 又MN平面BEC，BE平面BEC， 所以MN平面BEC.(5分) 又因为ABD为正三角形， 所以BDN30.(6分),又CBCD，BCD120，因此CBD30.(7分) 所以DNBC. 又DN平面BEC，BC平面BEC， 所以DN平面BEC. (9分) 又MNDNN， 所以平面DMN平面BEC.

12、 (10分) 又DM平面DMN， 所以DM平面BEC. (12分),常见失分探因,由条件得出BD面EOC时，易忽视ECCOC，EC平面EOC这一条件.,证明平面DMN平面BEC时，易漏步骤“MNDNN ”.,证明MN平面BEC时，易忽视“MN平面BEC，BE平面BEC，而直接写出MN平面BEC ” .,教你一个万能模板,分析条件，挖掘题目中平行与垂直关系,第一步 审清题意,确定问题方向，选择证明平行或垂直的方法，必要时添加辅助线,第 二 步 明确方向,利用平行垂直关系的判定或性质给出问题的证明,第三步 给出证明,查看关键点、易漏点、检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏，符号表达是否准确.,第四

13、步 反思回顾,教师备选题（给有能力的学生加餐）,1(2012江西模拟)如图，已知E，F分 别是正方形ABCD边BC，CD的中点， EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于 平面ABCD，且PAAB4，NC2， M是线段PA上的一动点 (1)求证：平面PAC平面NEF； (2)若PC平面MEF，试求PMMA的值,解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十五）”,2(2012陕西高考)(1)如图，证明命题“a是 平面内的一条直线，b是外的一条直 线(b不垂直于)，c是直线b在上的投 影，若ab，则ac”为真； (2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明),解：(1)证明：法一：如图1，过直线b上 任一点作平面的垂线n，设直线a，b， c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则 b，c，n共面根据平面向量基本定理，存在实数，使得c b n，则aca(