积分微分点积差积.ppt

1、普通物理学教程,力学,力学,第一章物理学和力学,高等数学补充知识,力学,第一章物理学和力学,一、微积分基础知识,1. 函数，导数与微分,函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数的一些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函数等。,导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量x时，函数y相应的有一改变量y=f(x+ x )-f(x)，那么当x趋于零时，若比值y/ x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点x处导数，记作：,这时称函数y=f(x)在点x处是可导的。,力学,函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f(x) 等于 曲线 y=f

2、(x) 在点x处的切线的斜率，即：,导数的几何意义：,数学补充知识,在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分速度矢量与加速度矢量。,力学,数学补充知识,注意：以下是易混淆的两个表示：,和,前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即： ，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即：,后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数y=y(x) ，则,力学,数学补充知识,若自变量有多个，则应该用偏导， 是函数y=y(x,t) (同时又有x=x(t) )对时间的偏导。（注意： ，对于多元函

3、数，一般 ）。,力学,数学补充知识,基本求导公式：,(1) (C)=0， (2) (xm)=m xm-1， (3) (sin x)=cos x， (4) (cos x)=-sin x， (5) (tan x)=sec2x， (6) (cot x)=-csc2x， (7) (sec x)=sec x tan x， (8) (csc x)=-csc x cot x， (9) (ax)=ax ln a ， (10) (ex)=ex，,，,力学,数学补充知识,函数的和、差、积、商的求导法则： (1) (u v)=u v， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uv+u v，,复合函

4、数的求导法则：,反函数求导法：,求导法则,力学,数学补充知识,复合函数的求导法则：,解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，,力学,数学补充知识,力学,数学补充知识,力学,数学补充知识,函数y=y(x)的微分存在的充分必要条件是：函数存在有限的导数 y=f(x) ，这时函数的微分是：,微分：若函数 y=y(x) 的改变量可表示为：,式中dx=x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分，记作：,力学,数学补充知识,2. 不定积分,不定积分：对函数 y=y(x) ，如果在给定区间a,b上有,则其逆运算就是求 G(x) 的不定积分（即：求 G(x) 的原函数）：

5、,上式中可以看出： G(x) （被积函数）的原函数为 y(x)+C，不止一个。其中， C 为积分常数。,力学,数学补充知识,3. 定积分,由上面的不定积分,再加上一定的初始条件，被积函数的原函数就是唯一确定的。,几何意义： 由 y=f(x) 的函数曲线，初始条件表示的直线，x 轴所围成的曲边梯形的面积。,牛顿莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）：,若函数 y=f(x) 在区间 a,b 上连续，或分段连续，则 y=f(x) 在 a,b上有原函数，设 F(x) 是 f(x) 在 a,b 上的一个原函数，则,(定积分与不定积分的内在联系 ),基本积分表,k x C (k是常数

6、)，,arctan x C ，,arcsin x C ，,ln |x|C ，,sin x C ，,cos x C ，,力学,数学补充知识,力学,数学补充知识,基本积分表,力学,数学补充知识,不定积分的性质,性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即,性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即,力学,数学补充知识,例4,例5,力学,数学补充知识, arctan x ln | x | C ,例6,例7,例8,定积分,力学,数学补充知识,三、矢量分析基础(由于物理学研究的需要而产生了矢量),1.矢量的定义： 具有一定的大小和方向，且加法遵从平行四边形法则的量

7、。,矢量表示：,2.矢量的加法、减法：,矢量的加法应满足平行四边形法则， 而减法是加法的逆运算，可用三角形法则；如图所示。,一般计算矢量的加法、减法时，对各分量分别相加减：,力学,数学补充知识,3.矢量的数乘,以实数 乘以矢量 称为矢量的数乘，记作 ，显然有：,实数 只是一个系数，矢量的数乘可以看作是把原矢量的模伸缩为原来的 倍。 的方向为： 时，与方向不变； 时，与方向相反。,4. 矢量的正交分解,把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。,力学,数学补充知识,5. 矢量的标积和矢积,已知两矢量 和 ，夹角记作： ，则：,（1）矢量的标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）：,（结果为标量 ）,（2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）：, 矢积 的结果为矢量；大小为以 A、B为边的平行四边形的面积：,力学,数学补充知识,6.矢量对 t 的导数,对矢量函数（简称矢函数） ，如果极限：,存在，就称它为矢函数 的导数，记作 ，矢函数 的