使闭回路系统A–BK.ppt

1、2020年7月10日，卡尔曼首先提出了线性系统的能控性、能控性和能观性的概念，并将其应用于现代控制理论中，在理论和实践上都发挥了非常重要的作用。可控性和可观测性的条件通常决定控制问题最佳解的存在。这是最优控制理论和经典控制理论的根本区别。在经典控制理论中，设计技巧主要是反复试验。经典控制理论给出了一套设计规范。一开始，设计者不知道解决方案是否存在。大多数最优控制理论以系统参数和设计目标为目标，在设计之初就有了判断解是否存在的标准。系统的可控性条件与状态反馈解的存在密切相关，因此我们可以任意放置系统的特征值来达到控制的目的。输出变量通常是可测量的，因此可观测性的概念与输出变量是否可以用来观察或估

2、计状态变量的条件有关。状态反馈控制系统，1。系统框图：图5-14。2。图5-14(a)中的系统有其动态特性方程：(5-223)，2020/7/10，2，3。状态变量通过常数矩阵K反馈形成闭环系统：(5-224)，K是具有常数元素的p n反馈矩阵，4。具有观测器和状态反馈的控制系统，也称为通过状态反馈的极点配置设计。5.设计目标是找出反馈矩阵，从而使闭环系统(ABK)的特征值保持在一个预设值。6.对于任意给定的极点，通过状态反馈极点配置设计，其解的存在性与系统状态的可控性直接相关。如果公式(5-225)的系统是可控的，就必须有一个常数反馈矩阵k，这样(ABK)的特征值就可以任意配置。2020/7

3、/10，3/8。设计并构造一个观测器，以便从输出向量y(t)中估计状态向量。图5-14(b)示出了具有观测器的闭环系统的框图。控制u (t)可以通过反馈矩阵K从观察或估计的状态向量(t)中产生.这种观测器存在的条件称为系统的可观测性。可控性的一般概念。线性时不变系统框图：图5-15。如果系统的每个状态变量都可以在有限的时间内由无约束控制u (t)来控制，以达到一定的目标，那么系统就可以说是完全可控的。图5-15线性时不变系统。3.只要存在不可控状态，系统就被称为不完全可控或完全不可控。4.图5-16示出了具有两个变量的线性系统的状态图。因为控制u(t)只影响状态x1(t)，x2(t)是不可控的

4、。换句话说，对于任何控制u(t)，不可能在有限的时间间隔(tf t0)内将x2(t)从初始状态x2(t0)推到期望状态x2(tf)。因此，整个系统被称为不可控的。状态可控性，2020年7月10日，4，图5-16非状态可控系统的状态图，状态可控性的定义，1。线性时不变系统的动力学方程：x(t)是n 1 2的状态向量。如果在有限时间(tf t0) 0内有一段连续的输入u(t)，它将状态x(t0)驱动到任何最终状态x(tf)，则状态x(t)在t=t0时是可控的。如果系统的每个状态x(t0)在一个有限的时间间隔内是可控的，那么该系统被称为完全状态可控或简单可控。定理5-1，如果由状态方程(5-226)

5、描述的系统是完全可控的，那么下面的n个nr矩阵的秩是一个充分必要条件，(5-228)，有时称为A和B可控，这意味着S的秩是n，2020/7/10，5，如果S不是平方矩阵，我们可以构造一个n个n的矩阵SS。如果SS是非奇异的，那么S的秩就是N。定理5-2，对于由状态方程(5-226)描述的单输入单输出(SISO)系统，如果A和B是连续函数或者可以通过类似的变换转换成连续函数，则A和B是完全可控的。定理5-3，对于由状态方程(5-226)描述的系统，如果A是DCF或JCF，并且对应于每个约当块的矩阵B的最后一列的列的所有元素都不为零，那么A和B是完全可控的。例如。例如，对于JCF系统，如果公式(5

6、-229)的矩阵A和矩阵B被证明是可控的，它们只需要对应于若尔登块的最后一列中的矩阵B的列，并且所有元素都不是零。(5-229)，因此，公式(5-229)中的A和B的可控条件是b31 0、b32 0、b41 0和b42 0。例5-18，系统状态方程的系数矩阵是，(5-230)，这个系统是可控的吗？2020/7/10，6，这个系统是不可控的，因为它的两个状态方程是相互依赖的，也就是说，不可能独立地控制每个状态。我们可以很容易地证明S=B AB在这里是奇异的。奇怪！示例5-19，考虑图5-16中的系统，并尝试讨论该系统的可控性。1.系统状态方程的系数矩阵：(5-231)，2。根据公式(5-228)

7、，控制矩阵是，(5-232)，s是奇异的，所以系统是不可控的。例5-20，考虑一个三阶系统，它的系数矩阵是，(5-233)，并试图讨论这个系统的可控性。2020/7/10，7，1。控制矩阵是，(5-234)，s是奇异的，所以系统是不可控的。另一种检测方法：特征值2。a是1=2，2=2和3=1。(5-235)，(5-236)，Jordan块中1前面的减号不影响块的基本定义。2020/7/10，8，线性系统的可观测性，1。本质上，如果系统的每个状态变量都会影响某些输出，那么系统是完全可观测的。换句话说，关于状态变量的数据可以通过测量输入和输出获得。2.如果任何状态不能被测量输出观察到，它被称为不可

8、观察的，而系统被称为不完全可观察的或根本不可观察的。3.线性系统状态图如图5-17所示，其中状态x2不以任何方式连接到输出y(t)。一旦我们测量了y(t)，我们就可以观察到x1(t)，因为x1(t)=y(t)。然而，在状态x2下，从y(t)看不到任何数据。因此，该系统是不可观测的。图5-17不可观测系统的状态图，可观测性的定义，1。线性时不变系统的动力学方程，2020/7/10，9，2。如果任何输入u(t)是已知的，则有一个有限的时间tf t0，这使得我们在t0依赖于u(t)、A、b、C和d矩阵，并且可观测性条件与系统的系数矩阵A和C有关。定理5-4如果由(5-226)和(5-227)的动力学

9、方程描述的系统是完全可观测的，那么下面的n-NP观测矩阵的秩是一个充要条件。(5-237)，这个条件也被称为A，C对是可观测的。那么v是nn平方矩阵。如果v是非奇异的，那么系统是完全可观测的。对于由动态方程(5-226)和(5-227)描述的单输入单输出(SISO)系统，可观测性的其他方法，定理5-5(即r=1和p=1)，如果a和c是OCF或可以通过类似的变换变成OCF，那么a和c是完全可观测的。2020/7/10，10，定理5-6，对于由动力学方程(5-226)和(5-227)描述的系统，如果A是DCF或JCF。并且在每个约当块的第一行中对应于C的行的所有元素都不为零，那么A和C是完全可观察

10、的。如果系统的特征值互不相同，也就是说，A是一个对角矩阵，那么可观测性条件是一行中没有任何C的所有元素都为零。示例5-21考虑了图5-17中的系统，该系统以前被定义为不可观测的。系统的动力学方程以(5-226)和(5-227)的形式表示，但有(5-238)。这个系统是可观察的吗？图5-17不可观测系统状态图，2020/7/10，11，1。可观测性矩阵：(5-239)，它是奇异的。因此，a和c是不可观测的。2.因为a是DCF，c的第二个行为是零，所以状态x2(t)是不可观测的。可控性、可观测性和传递函数之间的关系，定理5-7，如果系统的输入和输出之间的传递函数具有零极点抵消，那么系统要么不可控，

11、要么不可观测，甚至两者都不可控，这取决于状态变量是如何定义的。另一方面，如果传递函数没有零极点对消，系统可以用一个完全可控和可观测的动态方程来描述。如果一个系统模型是用传递函数建立的，没有零极点对消，无论状态变量模型是如何导出的，我们都可以确定它是可控的和可观测的。对于SISO系统，其动力学方程的系数矩阵如下：(5-240)。这个系统是可观察的还是可控制的？2020/7/10，12，1。由于A是一个对角矩阵，其四个状态变量的可控性和可观测性可以直观地确定如下：x1:可控和可观测(C和O) x2:可控但不可观测(C但UO) x3:不可控但可观测(UC但O) x4:不可控和，3。这个可控制和可观察

12、系统的传递函数是，(5-241)，对应于方程(5-240)描述的动态特性的传递函数是，(5-242)，三个极点-零点相消。这个简单的例子表明，不存在零极点对消，它是一个最小阶的传递函数，是对应于可控制和可观测系统的唯一分量。2020/7/10，13，图5-18 (5-240)，显示了系统的可控、不可控、可观察和不可观察组件。在2020年7月10日，14日，例5-22，试考虑传递函数：(5-22)公式(5-243)可分解为CCF和OCF如下：(5-244)，(CCF :)，1。因为可以找到临界热流密度的转换，临界热流密度的A和B可以被控制。2.可观测性矩阵：(5-245)，它是奇异的，所以连续函

13、数的A和C是不可观测的。B OCF:(5-246)，1。因为可以进行OCF转换，所以可以观察到OCF的a和c。2。控制矩阵是奇异的，所以OCF的A和B是不可控的。结论给定一个用转移函数建模的系统，系统的能控性和能观性取决于其状态变量的定义。能控能观的不变性定理，定理5-8，1中相似变换的不变性定理。系统的动力学方程：p是非奇异的，动力学方程转化为，(5-248)，(5-249)，其中，(5-250)，能控性和能观性可以在相似变换下保持，2020/7/10，16，定理5-9。具有状态反馈的闭环系统的控制定理，如果开环系统(5-251)是完全状态可控的，那么通过状态反馈得到的闭环系统的状态方程(5

14、-252)也变成(5-253)。相反，如果A和B是不可控的，就不可能有使ABK和B可控的K。换句话说，如果开环系统不可控，就不可能通过状态反馈使其可控。1。a，b可控意味着在时间间隔t0和tf中有一个控制u (t)，因此初始状态x(t0)可以在有限时间间隔tf t0中被驱动到最终状态x(tf)。2.写(5-252)，(5-254)，这是闭环系统的控制。如果有一个u(t)可以在有限时间内将x(t0)驱动到任何x(tf)，那么(5-254)意味着r(t)也存在，闭环系统是可控的。4.如果A和B是不可控的，这意味着u(t)不存在，所以x(t0)可以在有限的时间内被驱动到任意的x(tf)，那么我们就找不到一个r(t)可以驱动x(t)，否则，我们可以将u(t)设置为(5-252)来控制这个闭环系统。，2020/7/10，17，具有状态反馈的闭环系统的定理5-10可观测性定理。如果一个开环系统是可控制和可观测的，那么(5-254)形式的状态反馈将破坏可观测性。换句话说，开环系统的可观测性与具有状态反馈的闭环系统的可观测性无关。例5-23，让线性系统的系数矩阵为，(5-255)，并使用状态反馈试图证明A和B是可控的，而A和C是可观测的。让状态反馈定义为，(5-256)，其中，(5-257)，2。闭环系统由以下状态方程描述，(5-258