矢量运算基础与微积分初步

1、矢量运算的基本知识和微积分初步,标量只有大小（当然有正负），例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。,矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、力等。,矢量运算基础,1、矢量的定义：,2、矢量的几种表示方式：,大小,3、矢量相等： 大小相同，方向相同。 标量不能与矢量相等，即：,（矢量的模）,字母上面加箭头，或用黑体字（课本）,解析表示：,几何表示：有指向的线段,矢量运算基础,4、矢量的运算法则：,(1) 加减法 含平行四边形法则和三角形法则,矢量运算基础,(2) 数乘,一个矢量也可写成 : 它的大小乘上它的单位矢量，,如：,矢量运算基础,(3)矢量的分解 在一个

2、平面内，若存在两个不共线的矢量 则平面内的任一矢量可以分解为：,在直角坐标系，,其大小,矢量运算基础,矢量运算基础,同一方向上的分量的运算如同标量一样。,不同方向上的分量不能合并同类项，要按矢量加法法则叠加。,矢量运算基础,(4)矢量的标积（点积，点乘）,特别注意：,若,可能,矢量运算基础,矢量运算基础,遵守交换律,遵守分配律,标积的性质：,(5)矢量的矢积（叉积、叉乘）,是一个轴矢量,方向：,大小：平行四边形面积,右手螺旋前进,右手四指由叉乘号前的矢量方向，沿小于的夹角旋转到叉乘号后的矢量方向时拇指的指向。积矢量垂直于两叉乘矢量所确定的平面。,矢量运算基础,矢积的性质：,不遵守交换律,但遵守

3、分配律,矢量运算基础,(6)矢量的非法运算包括,矢量与标量不能相等。 ！,即：矢量不能作除数、取对数； 不能开方、作指数。,注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ “”、“ ”不能随便乱用。,矢量运算基础,（7）矢量的导数还是个矢量,若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不相干，分别求导。如：,但一般,（除非定向运动。）,如：速度的导数是加速度，速率的导数是加速度的切向分量。,矢量运算基础,即：矢量的导数的模一般不等于矢量的模的导数,在直角坐标系中,矢量运算基础,（8）矢量的积分,第一种情况：,矢量运算基础,第二种情况，对矢量点乘积分：,还有，对矢量叉乘积分，以后在电磁学里再讲。,矢量运算基础,(

4、一）、导数的概念,微积分基础,引例：讨论物体作变速直线运动的速度问题,1、导数的定义,2、导数的几何意义：,例、求曲线 在（1，1）点处的切线方程,3、微分的定义：,（二）导数的计算,1、用定义求导数,例1,已知： 求：,解：,初等函数的导数公式,积分学初步,（一） 不定积分的概念,已知函数 ，如果存在一函数 ，使得 则称 为 的一个原函数。由于常数C的导数恒等于零，因此，任意可积函数的原函数都有无穷多个。 原函数 又称 的不定积分，记为：,一、不定积分,（二） 不定积分的基本性质,(三) 常用不定积分公式,二 、定积分,（一）、定积分的概念,设一元函数y=f(x) ,在区间（a, b）内有定义。将区间（a, b）分成n个小区间(a, x0) (x0, x1) (x1, x2) .(xi, b) 。设 xi=xixi-1，取区间xi中曲线上任意一点记做f（i），做和式：,若记为这些