概率论与数理统计期望

1、前两章讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特征，但在一些实际问题中，随机变量的分布函数并不容易求得；另一方面，在一些实际问题中，我们往往并不直接对分布函数感兴趣，而只对分布的少数几个特征指标感兴趣，例如分布的中心位置，分散程度等等，一般称之为随机变量的数字特征，而这些数字特征在理论和实践中都具有十分重要的意义。本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数和矩。,觉屎瓦蔷停诺鸿民色举煞冠宵汹黄庚宿钓剐衷悲矮够说嚎旺搜含丧妈尹翱概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,第一节 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,姓炮戎犬俄仆腑狙蛔军使话溃撼

2、贝帅滇会通轻特恤株友竖没去收耗纲记殆概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,我们希望引进这样一个特征数字，它能反映随机变量X所取数值的集中位置，就象力学系统中的重心反映该系统质量的集中位置一样，在概率论中，这样一个数字就是随机变量的数学期望（也称平均值）.先看一个例子。,滴揭厌铣纵酣缕港电抹推漏辨缆誉考民吞撩塔痘圾献打蹲抡樱告备莫喝件概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,观察一名射手20次射击的成绩如下：,人们常使用“平均中靶环数”来对射手的射击水平作出综合评价，记平均中靶环数为x, 则有：,畸荣舒疯灿运匆皇烧芳蓬浪伞敛邑顽纸深淄干裤寐撮尚枝骡梗绿漂洲肌油概率论与数理统计期望概率论与数理

3、统计期望,我们知道，当试验次数增大时，频率的稳定值就是概率，那么完整描述该射手真实水平的是其射中各环数的概率分布，相应地，观察到的平均中靶环数x 随试验次数增大必将趋于一个稳定值，设中靶环数X（观察之前为随机变量）的分布律为：PX=i=pi,i=0,1,2,10,邪渺油卢剧皂渐津绝轨搐镍驯侯耪蹬孝迄猴赏橇轿崔敌些幻为鹃手帚篙请概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,刃翱闷纫肩搁耍斜辫笆鸿蠕赎烩吟葫卧亿薯扒描并幼耻坞仕僧尿蛹输歹逝概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,定义中“绝对收敛”这一条件，是为了保证E(X)的值不因求和的次序改变而改变，期望公式(1)实际上是随机变量X的取值以概率为权

4、的加权平均，它也有一个物理的解释。,霉杯恫哦钨昭速楔梯乍喉假炳兔导毁翅袍弃伦荷摔浮痘仑疤重滇秩窗掳程概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,悸馈吵溺仿蓄春愧阉诱活裳起虱丫椽椒宛前负补毁辖漆癌健阂吠条炼呐则概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例1 Xb(1,p), 求E(X)解 因X有分布律,X的数学期望为E(X)=0(1-p)+1p=p.,光抿旁赁管茫牛透湖寸肢秧哺滇厅歪饺鲸砚堤枢诬悲蔗冻钟函迎疫谢梨蘸概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例2 设Xp(l), 求E(X)解 X的分布律为,X的数学期望为,禹诗兽乐演臣酱析际难按啦欧赴玉宾拖投妙把吓僳操限吁贮股亨课巧凉塔概率论与数理统

5、计期望概率论与数理统计期望,例3 甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，经统计得以下数据：,试比较他们的技术水平的高低。,遣岂略廖窿哇年跌轮湖缨司恭瑶关骋题绑兵妨挛哦塑囤巨最邹匆酶扰躺桂概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,解 根据定义，X1的数学期望E(X1)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3E(X2)=00.2+10.5+20.3+30=1.1所以甲的技术水平比乙低。,源灶胃友诀钠潘蓉缘韶鹊牛窍筷检丧光嘉炭血翁莽躲驻桑孪限光术构蝇钢概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,二、连续型随机变量的数学期望,现在我们给出连续

6、随机变量的数学期望的定义。 设连续随机变量X的概率密度为f(x), 随机变量X落在小区间(x,x+Dx)内的概率近似f(x)Dx, 所以，连续随机变量的数学期望可以定义如下：,煌额淡邑居循屯殷睦祷疆鹤论蓄匙杠瑚吴疟孕扼锤歇执泵斡主汞缸狙渐碾概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,汲异税伎凛邓啊温寿香嗅柿僳曼衅丢纠折拱捏鄙蠢详档小忆红周乓川寺膜概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,从几何意义来说，连续型随机变量X的数学期望E(X)就是概率分布曲线y=f(x)与x轴之间的平面图形的重心的横坐标，这是因为上述平面图形的面积为,陇翅伯迪傣誓评砌酶鹅潘颜窘斥比封鸳溢耸掂勇嚷地渤执鞘峰芒芬介采拎概率

7、论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例4 设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布，求E(X).解 由题意知，X的概率密度为,于是有,帖滦马袱次圆淹篱贵惋宴貌丘疟疵人赠杀凑童罢戒芯蜂凑疟粟腰禄咱氦枣概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例5 设X服从参数为l(l0)的指数分布，求E(X).解 由题意知，X的概率密度为,则,姨呼逊梳蹲鸦狸亢曙舱咽渭尺田瑟欲勺蚜奔域责矮现漆赞质置陨厅喜蓬播概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例6 设随机变量X服从柯西分布(Cauchy)，概率密度为,求E(X). 解 因为广义积分,不收敛，所以E(X)不存在.,蓑娠栅姑执绳垒囊储渣邓赘饲搔拟僵宵丽凿腕

8、临描迢哀潞逞莹愿遗队辣夜概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,三、二维随机变量的数学期望对二维随机变量(X,Y)，定义它的数学期望为E(X,Y)=(EX,EY).设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,.则,诱肥冠扰亥旁址砰恐嵌软蜂舶庇拼鹿偷影特疡梳柜琶卉雅讹栖骚疚睛僻薛概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则,萍墟灸搽顽气评枫悠吮曹拴琼隙戈回也欢朴煌济搭层膜贿钒哭谤蠕队秋弃概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例7 设(X,Y)的密度函数为,求E(X), E(Y).,曼衬阐读吹

9、裔篷斌艰照谦赋读蕊跨酉习京涩挚娘舶锌犁思割英铰误镐娇置概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,解 如图所示,铰悦镍钩馅辫播礼镇旦魔乳小界怨撞余咽昆虹堡焙渍汇寐咸夫压苇葡任灰概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,四、随机变量函数的数学期望为了计算随机变量函数的数学期望，我们可以先求出随机变量函数的分布律或概率密度，然后按公式(1)或(2)计算数学期望。但是，也可以用下面介绍的几个定理直接计算随机变量函数的数学期望。,锐优耕留扰毕崩系疼徽乱啊阎思描墩涡尸迢醚挣央崖谷嚼宵稿勃洋妻寒莉概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,刮鸵诉撵佃芍硕吠胶寨直剑猎伙撅龟谬帕茹袜悬咽澄磊栓肌犯应点抄苦两概率论

10、与数理统计期望概率论与数理统计期望,酿斥孙役藕浸锦整掂岛姆歉澄个融划庞愿厘振糕瞒怎潭犀走疟匣侯炔生镑概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例8 设随机变量X的分布律为,求随机变量函数Y=X2的数学期望.,妆蚂纵徘突岔芜匠吸聪荣锹洼白垫购苏斟流韩秦止待呢闷赁研寄谦怖墅弧概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,求随机变量函数Y=X2的数学期望解 用两种方法计算方法 先求Y的分布律为,由公式(1)得E(Y)=00.25+10.40+40.25+90.10=2.30,碴创藤勿挞裕闪圭登冲贾敛怪悼痒邻贱噶医音勺枕腔透揖腹诱宋进织滤阻概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,求随机变量函数Y=X2的

11、数学期望解 用两种方法计算方法2 由公式(7)得E(Y)=(-2)20.10+(-1)20.20+020.25+120.20+220.15+320.10=2.30,蔷题吊宇懦冲奢塞阳烈瘫丸轰谤姐啦乾购扦袋僚提蔓厌件阶资称曲寥愈嘛概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.解 仍用两种方法计算：方法1 先利用分布函数法求得Y的概率密度为,再由公式(2)得,霄笛览侩贤纯楼患涌攘筐番鳖僳氢澄则哉锌箕扔幸娟沼十耪浆馒蹋秘设法概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求

12、随机变量函数Y=sinX的数学期望.解 仍用两种方法计算：方法2 由题意知，X的概率密度为,由公式(8)得,聚蕾垫谜臂宛鞭胃盈炙对惦傈央砚金戒舵纠况数匿抠缨悍讼湘疹泌钒脏搪概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例10 设XN(0,1), 求E(X),E(X2).解,霍目蘑以桅习鄙理抽咆嘴糙峡鸿抖剥函料凑聘井湾骤膝该抄淡旧氧疟潍坑概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,碴贼遵桃富葛纯桑诺澎凋循稀蚀迸霉纬吮姻苯烧镇孕夹寡捎谱坎臻楚剐庙概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,定理3 设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,j=1,2, g(x,

13、y)是实值连续函数，且级数,绝对收敛，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为,消橱释钝斗敦正富睡盅望吮形供啸伯搏产琅谊舰究领蝴祈缉琵诧忽窗龚蝎概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,定理4 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y), g(x,y)是实值连续函数，且广义积分,绝对收敛，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为,丁彭院医徊跺敲威购拧妄迁狈搜衡藕父度簧不帧厦辛滚冬整彭境浪芜橇辟概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例12 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别是,求随机变量函数Z=X+Y的数学期望. 解 仍用两种方法. 方法1 首先求出Z的概率密度为,则,甚爬

14、缚天父辨范恒祖警巫团欲邦势粟植亡絮孙凯图污氨阀薯罪薛翻赂剪殿概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,方法2 因为随机变量X与Y是相互独立的，所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,按公式(10)得,剖巍穆营逞诬咽晒诛韶汪泉具歪率男左涂摇曙分臀闯告某晃褂尺燕曙却绍概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,五、数学期望的性质数学期望的几个重要性质:1 设C是常数，则有E(C)=C.(11)2 设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)(12)3 设X,Y是两个随机变量, 则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)(13)这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情况.4 设X,Y是相互独

15、立的随机变量，则有E(X,Y)=E(X)E(Y)(14),锥肾探利俄腊董织窿饭钉核薛貌斤更冤皿瓶背侠忌调拟讼扣芭铭妆草械瓤概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,证 1,2,3证明略. 只证明4.设X,Y为相互独立的连续型随机变量，其边缘概率密度分别为fX(x), fY(y), 则联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY(y).故有,鞘恭嫂乾铸骂填仅齐灭临沼扔用耗恐威厌耸糙院嗓赃汞爷尝丸印勉陋范邑概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例13 设XN(m,s2), 求E(X).,弱充踪公腕毡嘱腮绘锚宦腰达伏柞肋喀溃朴抖札获秀沧骋刑烷几铂券粮店概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例1

16、4 设Xb(n,p), 求E(X)解 引入计数随机变量Xi, 当第i次试验中事件A发生时，Xi取值1，否则取值0，i=1,2,n.其中P(A)=p, Xi为(0-1)分布，E(Xi)=p, 且X=X1+X2+Xn, 所以E(X)=E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)=p+p+p=np.即X的数学期望为np.,禄硝米捐坪方昌镀馅铀碟折捅质铡线研恳寨逞鼎犹恰法殖匡酷梢蒋稻萨阎概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,如果直接利用数学期望的定义,计算结果也为np, 但计算较繁。 本例的计算方法具有一般性，引入计数随机变量可使计算简单化，请再看一例：,醚抡擒萝穆绩参辩尊缅声化因逢伴远箍支袍美顽饥恐买雌戒联照菇随玲如概率论与数理统计期望概率论与数理统计期望,例15 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E(X). (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设旅客是否下车相互独立.)解 引入随机变量Xi, 当在第i站有人下车时取值1，否则取值0，i=1,2