第2章模糊数学基础

1、2020/7/10，1，第2章，模糊数学的基础，2020/7/10，2，2020/7/10，3，模糊数学(Fuzzy Set)是模糊控制的数学基础，由加州大学扎德教授首先提出。他将模糊性和集合论统一起来，使之吸收人脑思维中理解和推理模糊现象的优点，同时又不放弃集合的数学严密性。“模糊”是指当客观事物之间的差异处于中间过渡时，界限不明显，表现为“一个和另一个”。“模糊”与“精确”相关。模糊数学并没有使数学变得模糊，而是使用数学工具来描述和分析模糊现象。模糊数学是经典数学的延伸，它在经典集合论的基础上引入“隶属函数”的概念来描述事物对模糊概念的隶属度。2020/7/10，4，冷热天气，雨，风，人的

2、胖与瘦，年龄，身高，2020/7/10，5，2.2.1经典集合的定义和表示方法，1。经典集合的概念，给定一个性质P，满足性质P的对象，英文大写字母u或e表示。元素：宇宙中的每一个物体。英文小写字母a、b、c、x、y和z代表。集合：在一个给定的领域中，具有一定属性并能相互区分的一整套事物。英文大写字母a、b、c、x、y和z代表。宇宙、元素和集合的关系：宇宙是元素的整体，集合是宇宙中某些元素的整体。元素和集合之间的关系属于“”或不属于“”。2020/7/10，7，2。经典集合的表示，(1)枚举一一列出集合中的元素，适用于表示元素的有限集合。(2)定义方法通过描述集合中元素的共性来定义集合，适用于表

3、达有限的元素集合，也适用于不能一一列举元素的集合。(2)特征函数法使用非此即彼的清晰度来表示一个集合。2020/7/10，8，3。几个特殊的集合，(1)完备集合E包含宇宙中所有元素的集合。(2)空集合不包含元素集合。(3)子集集合A中的所有元素也是集合B中的元素，那么集合A就是集合B: AB的子集。AB和BA，表示A和b相等，A=b(4)幂集P(A)由集合A的所有子集组成的集合，4。经典集合的基本运算，(1)并行运算，(2)交集运算，(3)补运算，(4)差运算，2020/7/10，9，5。经典集合运算的基本性质、2020/7/10、10由两个集合X和Y及其各自的元素xX和yY组成的有序对集合(

4、X，Y)称为集合X和Y的直积，2020/7/10、11(2)二元关系，定义2-1，让X和Y为两个非空集合，集合X和Y的直积XY的子集R称为从X到Y的二元关系；如果有(x，y)R，记录为x，y；如果X=Y，则直积XY的子集R在X上称为二元关系，2020/7/10，12，(3)关系矩阵，二元关系R可以用二维关系矩阵表示，假设R是从X到Y的关系，关系矩阵R的第I行和第j列上的元素rij定义为，2020/7/10，13，2。等价关系，如果x上的关系r同时是自反和自反的，(1)自反关系，其中主对角元素都是1，(2)对称关系，rij=rji，(3)传递关系，其中自反、对称和传递关系同时存在，2020/7/

5、10，14，3。映射关系，概念，字母x和Y；二是两组x和y之间的关系；每个xX对应一个唯一的Y。，表示，对于元素，f，对于集合，f，隶属度，2020/7/10，15，2.3.1模糊集的定义和表示方法，1。模糊集的定义，定义22个模糊集，论域u上的模糊集F意味着对于论域u中的任何元素uU，它都被指定在0，1闭区间内，即定义一个映射F:它被称为模糊集F的隶属函数.F，2020/7/10/16，上述定义表明：(1)论域u上的模糊集F由隶属函数F(u)刻画；(2)f(u)的范围是闭区间0，1；(3)f (u)的大小反映了F(u)对模糊集F的隶属度，F(u)的值接近1，表示u在很大程度上隶属于模糊集F，

6、F(u)的值接近0，表示u在很小程度上隶属于模糊集F。模糊集f完全由隶属函数描述。2020/7/10/17，以“青年、中年和老年人”为例说明模糊集和隶属函数的概念。宇宙U为1，100的年轻A、中年B和老年C将成员函数指定为A(u)、B(u)和C (U)，并在2020年7月10日定义了23个分支。模糊集F的分支S是一个普通集，它由满足F的论域U定义(定义了U 24个模糊单点)。如果模糊集F的分支只包含宇宙u上的一个点u0，并且F(u0)1，那么F被称为模糊单点。2020/7/10，19，2。模糊集的表示，(1)当域U是离散有限集u1，u2，un，1) Zade表示，例21，在域U1中使用Zade

7、方法，2，3，4，5，6，7，8，9，7“几”的模糊概念在宇宙U1中讨论，2，3，4，5，6，7，8，9，10通过使用支持集。2020/7/10，20，2)。宇宙U中的元素ui和它的隶属度F(ui)形成一个序对来表示F，然后：例22，用序对的方法来讨论宇宙中的“几个”U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，解，2020/7/10，21，3)向量表示，用宇宙U中的隶属度F(ui)来表示模糊集F，然后：注意！其中向量的顺序不能颠倒，并且成员度为0的项目不能省略。在例23中，在U1、2、3、4、5、6、7、8、9和10的领域中用向量法讨论了“几”的模糊概念。这三种方法是集成的，2020/7/10

8、，22，(2)当域U是一个离散的无限域时，1)可数情形：Zade表示，其中U=u1，u2，un，F(ui)F(ui)，2)不可数情形：Zade表示，Zade给出了“老”O和“年轻”Y模糊集的隶属函数，2020/7/10，24，解，Zade表示，2020/7/10，25，2.3.2模糊集运算，(1)模糊集等式，(2)包含模糊集，两个模糊集A和B，如果所有元素uU都有A(u)B(u)，那么模糊集A就包含在模糊集B中，或者A是B的子集，2020/7/10，26，(3)模糊空集，如果所有元素uU都有A(u) 0，那么模糊集A就称为模糊空集。(4)模糊完备集，如果所有元素uU都有A(u)1，那么模糊集A

9、就叫做模糊完备集。(5)模糊集的补，两个模糊集A和B，如果B(u)=1A(u)对于所有元素uU都存在，那么B称为A的补，2020/7/10，27，(6)模糊集的并，三个模糊集A，B和C，如果对于所有元素uU都存在C(u) A(u) B(u) maxA(u)，B(u)，那么C称为A和B的并C=AB，2020/7/10，28。当宇宙U是一个连续有限域时，模糊集A和B的交、并和补可以直接写成：2020/7/10，29，例25。设宇宙U有模糊集，且A=“男”AB“年轻还是男人”，AC“不是男人”，解，AB“年轻男人”=0.1/叶0/牛奶0.9/爸爸0/妈妈，AB“年轻还是男人”=1/叶0.2/牛奶1/

10、爸爸1/妈妈，AC“不是男人”=“女人”0 E上有两个模糊集：模糊集中的代数运算。用模糊隶属函数定义论域U上的两个模糊集A和B:(1)代数积，AB AB(u)A(u)B(u)，(2)AB(U)A(U)B(U)1，(4)有界差，(5)有界积，ABAB (U) A (U) B (U) 10，2020/7/10，32、3。模糊集运算的基本性质，2020模糊集特征函数的取值范围从0，1集扩展到0，1区间，相当于连续逻辑。2.隶属函数的确定原则意味着隶属函数的模糊集必须是凸模糊集。当从最大隶属函数点向两边扩展时，隶属函数值必须单调递减，不允许有波形。2020/7/10/34，变量的隶属函数通常是对称和平

11、衡的，附近隶属函数的范围，重叠范围，L，U，A1，A2，x，0，1.0，重叠指数的定义，隶属函数，2020/7/10/35，没有两个隶属函数同时具有最大隶属度。当两个隶属函数重叠时，重叠部分任一点的隶属函数之和应小于1。重叠比率重叠范围/附近模糊隶属函数的范围，重叠鲁棒性的总重叠区域/总重叠最大区域，2020/7/10，36。通常的方法是先初步建立一个粗糙的隶属函数，然后通过“学习”和不断的实践对其进行修整和改进。3.隶属函数的确定方法是模糊集理论的基础，如何确定隶属函数是一个关键问题。由于模糊理论的研究对象是“模糊的”和经验性的，寻找一种统一的隶属度计算方法是不现实的。(1)主观经验方法当话

12、语领域是离散的，通过分析和推理，可以根据主观理解和个人经验直接给出隶属度。这种方法相对简单，人们利用专家或熟练技术人员的经验来建立隶属函数。例如，可变模糊温度的隶属函数可以选择三角函数。2020/7/10，37，(2)模糊统计方法根据提出的模糊概念进行调查统计，提出相应的模糊集合A，并通过统计实验确定不同元素属于A的程度。对于模糊集A=的隶属度，基本思想是明确判断域U上的某个元素u0是否属于可变的清晰集A，随着n的增加，隶属度频率趋于稳定，这个稳定值就是u0对A的隶属度，一般为2020/7/10/38，都服从正态分布。(3)用三分法建立了“短”、“中”、“高”三个模糊集的隶属函数。以域U=(0

13、，3)(单位：米)为例，每个模糊测试确定一个域的划分，每个划分确定一对数字(，)，即短与中、中与高的分界点。2020/7/10，39，4。模糊控制中的典型隶属函数：(1)高斯隶属函数由参数和C决定，其中参数通常为正，参数C用于确定曲线的中心。2020/7/10，40，(2)广义贝尔隶属函数由三个参数确定，其中参数B通常为正，参数C用于确定曲线的中心。，Matlab表示为，2020/7/10，41，(3) S形隶属函数f(x，A，C)由参数A和C决定，其中参数A的正负符号决定了S形隶属函数的开口面向左或右，用来表示“公平”或“消极”的概念。(4)梯形隶属函数的梯形曲线可由四个参数A、B、C和d确

14、定，其中参数A和d决定梯形的“脚”，参数B和C决定梯形的“肩”。(5)三角隶属函数的三角曲线形状由三个参数决定，其中参数A和C决定三角形的“脚”，参数B决定三角形的“峰”。Matlab表示为，2020/7/10，44，(6)Z形隶属函数，它是基于样条函数的曲线，以其Z形命名。参数a和b决定曲线的形状。在Matlab中，它是2020/7/10/45，共同关系表示事物之间是否有相关性。模糊关系描述了模糊概念中事物之间的关联程度。1.模糊关系的定义，它定义了25个集合的直积。由两个集合的uU和vV组成的有序对集合叫做U和V的直积(笛卡儿积)，注意！2020/7/10，46，定义了26个模糊关系。两个非空集合U和V之间的直积UV=(u，v)|uU，vV中的模糊集合R称为从U到V的模糊关系，也称为二元关系。它的特性可以用隶属函数来描述。隶属函数R(u，v)表示有序对(u，v)的隶属度，也描述了(u，v)之间的关系R的大小。当U=V时，r称为U上的模糊关系，当宇宙是n个集合Ui(i=1，2，n)的U1U2 Un的直积时，它们对应的模糊关系r称为n元模糊关系。2020/7/10，47，病例27，在医学中，一个人的标准体重用体重(kg)和身高(cm)100表示，这是身高u和