曲线习题课.ppt

1、曲线练习课，1。贝塞尔曲线的数学表达式，贝塞尔曲线是由多项式调和函数导出的，通常n1个顶点定义一个N次多项式，其参数向量表达式为；在公式(6-21)中，是每个顶点的位置向量，Bi，n(t)是伯恩斯坦基函数，即贝塞尔多边形每个顶点的位置向量之间的调和函数。该函数的表达式为：2、贝塞尔曲线的几何性质，以及(1)端点性质，表明贝塞尔曲线以给定的控制点P0为起点，以给定的控制点Pn为终点。1)表明贝塞尔曲线起点的切向量只与给定的控制点P0和P1相关，与向量P1P0相切，长度为n|P1P0|。2)端点处的2)Bzier曲线的切线向量仅与给定的控制点Pn1和Pn相关，与向量PnnPn1相切，长度为n |

2、pnpnpn1 |。(2)对称，而不是形状对称，保持贝塞尔曲线所有控制点P1的坐标位置不变，但颠倒控制点P1的顺序，保持曲线形状不变。(3)凸性，贝塞尔曲线必须在其特征多边形的凸包内。3。二次贝塞尔曲线。当m=3时，顶点P0、P1和P2可以定义一条二次(n=2)贝塞尔曲线。此时，等式(6-21)可以重写为：p(t)=(1t)2p 02t(1t)p1t2p 2(0t 1)(6-24)。在等式(6-24)中，对应于等式(6-21)中的基函数bi，n (t)是：在端点P2，存在切向量P2=P(t=1)=2(P2P1)。同时，当t=1/2时，这个公式表明二次贝塞尔曲线通过P0P1P2中的中线P1Pm的

3、中点p。综上所述，我们可以看到二次贝塞尔曲线是一条抛物线。参见图6-16。图6-16二次贝塞尔曲线，第四次和第三次贝塞尔曲线。当m=4时，顶点P0、P1、P2、P3和P3可以定义一条三次贝塞尔曲线。此时，等式(6-21)可以重写为：p(t)=(1t)3p 03t(1t)2p 13t 2(1t)p2t 3p 3=(13t 3t 2-t)3p 0(3t 6t 23t 3)P1(3t 23t 3)p2t 3p 3(0t 1)(6-25)。给定m n 1个顶点Pi (i=0，l，2，m n)，我们可以定义m 1的n次参数曲线如下：其中Pk，n(t)是第n次b样条曲线段(k=0，1，m)，Fi，n(t)

4、是第n次b样条基函数，也称为b样条段。形式为：(6-27)，(1)二次B样条曲线段的起点P(0)在B特征多边形的第一条边的中点，其切向矢量P1P0为第一条边的方向；(2)端点P(1)位于特征多边形线b的第二条边的中点，其切向矢量P2P1是第二条边的方向。(3)P(1/2)是P(0)P1P(1)中线P1M的中点，P(1/2)处的切线平行于。因此，分段二次B样条曲线是抛物线。图6.17二次B样条曲线，可以看出，由N个顶点定义的二次B样条曲线实质上是n2条抛物线(由相邻三点定义)的连接，并在连接处达到一阶连续性。7。二次B样条曲线段，(6-31)，8。三次B样条曲线，端点属性：(1)曲线段的起点P(

5、0)位于P0P1P2底部P0P1P2的中线P1Pm上，距P1三分之一。该点的切线P(0)平行于P0P1P2的底部P0P2，其长度为P0P1P 2的一半。该点的二阶导数等于中线矢量P1Pm的两倍。图6.18三次B样条曲线段。(2)曲线段的端点P(1)位于P1P2P3的底部P1P3的中线P2Pm上，距P2点三分之一。在这一点上的切线向量P(1)平行于P0P1P2的底边P1P3，并且它的长度是它的一半。该点的二阶导数等于中值向量P2Pm的两倍。(3)如果顶点P4被添加到B特征多边形，那么P1P2P3P4可以定义新的三次B样条曲线。由于新曲线段的起点数据和前一条曲线的终点数据只与P1、P2和P3相关，

6、所以两曲线段在连接处的位置向量、一阶切向量和二阶切向量应该相等，即P1(1)=P2(0)、P1(1)=P2(0)，证明三次B样条曲线可以实现二阶连续性。二次贝塞尔曲线的控制顶点是P0、P1、P2和P2，其他控制顶点是Q0、Q1、Q2和Q2，其中P2=Q0。写出两条曲线可以精确组合成一条贝塞尔曲线的条件。示例1当使用一组值点来指定曲线和曲面的形状时，该形状完全通过给定的值点列，并且通过该方法获得的曲线和曲面称为曲线和曲面，但是当使用控制点列来指定曲线和曲面的形状时，获得的曲线和曲面不一定通过控制点列。在示例3中，以(30，0)、(60，10)、(80，30)、(90，60)和(90，90)为控制

7、点的四次贝塞尔曲线的值在t=1/2处计算，并绘制出德卡斯特利约三角形。示例4让三次贝塞尔曲线的前三个控制点为(30，0)、(60，20)和(80，20)。t=1/2处的曲线值为(70，15)，因此尝试找到最后一个控制点。例5将P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8和P9作为三次B样条曲线的固定点P5，用控制点，几条曲线的形状会发生变化。给定四个点P0(40，30)，P1(50，60)，P2(200，80)和P3(240，30)，构造一条B样条曲线，参数计算为0，1/2，1，并绘制图形。例7由五个控制顶点P1(I=0，1，4)确定的三次B样条曲线是通过平滑地连接三次B样条曲线的截面而形成的。