孙炳达版 《自动控制原理》第3章 控制系统的时域分析法-5

1、自动控制原理,第三章 控制系统的时域分析法,3.5 稳定性分析及代数判据,3.5 稳定性分析及代数判据,一、稳定的概念及条件 概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。 稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本身的结构和参数。 用系统的单位脉冲响应函数g(t)来描述系统的稳定性，如果 则系统是稳定的。,3.5 稳定性分析及代数判据, 稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于平面虚轴的左半平面。 这是系统稳定的充要条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是在给定信号作用下系统稳定的充要条件。 系统稳定的必

2、要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，可用劳斯判据判稳。假如有任何系数为负或零（缺项），则系统不稳定。 若是二阶系统，则肯定是稳定的，对于高于二阶的系统，则需进一步判断。,3.5 稳定性分析及代数判据,二、劳斯判据 系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。 系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须为正。,1、写出系统特征方程的标准形式：,具体步骤：,注意： (1) s要降阶排列， (2) 所有系数必须大于0。,3.5 稳定性分析及代数判据,2、列劳斯表：,注意：1、共n+1行 2、第1,2行由分程系数组成，其余行按公式计算。,公式：,3.5 稳定性分析及代

3、数判据,判断：,1、当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；,2、如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。 3、第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。,3.5 稳定性分析及代数判据,例 系统特征方程为s4+6s3+12s2+11s+6=0; 试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。,由于劳斯表第一列数据均大于零，系统稳定性。,解：列出劳斯表,1,6,12,11,6,0,0,3.5 稳定性分析及代数判据,例 系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。,第一列数据不全为正，系统不稳定性。由于符号改变两次，故有两个根在右半平面。,解：列出

4、劳斯表,1,2,3,4,5,0,0,3.5 稳定性分析及代数判据,例 三阶系统特征方程式如下，求系统稳定条件。,系统稳定的充分必要条件是 ：,解：列出劳斯表,3.5 稳定性分析及代数判据,劳斯判据的特殊情况,1、在劳斯表的某一行中，第一列项为零。 2、在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。 在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。,例 设系统特征方程式如下，,试用劳斯判据确定正实部根的个数。,3.5 稳定性分析及代数判据,解 列劳斯表，得,由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数

5、，这里取a=1。,3.5 稳定性分析及代数判据,于是得到新的特征方程为：,列新的劳斯表，得,第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。,3.5 稳定性分析及代数判据,三、劳斯判据的其它应用 1.分析系统参数对稳定性的影响,例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的范围。,解：系统闭环特征方程为：,3.5 稳定性分析及代数判据,列出劳斯表：,系统稳定必须满足：,所以K的取值范围为：,3.5 稳定性分析及代数判据,例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的范围。,解：系统闭环特征方程为：,3.5 稳定性分析及代数判据,列出劳斯表：,系统稳定必须满足：,所以K的取值范围为：,3.5 稳定性分析及代数判据,

6、例 有一随动系统，采用比例加积分的控制器控制一个直流电动机，如图示。电动机的参数=0.2，n=86.6s-1，试确定比例加积分控制器的待定积分常K1能保证系统稳定的取值范围。,3.5 稳定性分析及代数判据,解：系统开闭环传递函数分别为：,所以，系统闭环特征方程为：,3.5 稳定性分析及代数判据,将参数=0.2，n=86.6s-1代入并列出劳斯表：,系统稳定的充要条件，得 0K1 34.6,3.5 稳定性分析及代数判据,2. 确定系统的相对稳定性,劳斯判据主要的功能是判断线性闭环控制系统是否稳定。 如果系统不稳定，该判据并不能直接指出如何使系统达到稳定。 如果系统稳定，该判据并不能直接指出该系统

7、是否具备满意的动态性能指标。但是，如果我们能知道离虚轴最近的特征根离虚轴的距离，我们就能估系统快速性。 反过来说，我们要求所有特征根都要离开虚轴(当然指在左半开平面) 有一定的距离，动态性能也会有一定的保证。,3.5 稳定性分析及代数判据,假如我们希望所有特征根在左半平面离虚轴的距离大于10，则可假想把坐标轴向左移距离1成一新坐标轴，如果要求所有特征根皆在新虚轴的左侧，则该系统不仅稳定，动态性能的快速性也有一定保证。,稳定裕量：系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部最大的特征根与虚轴的距离。,若要求系统有1的稳定裕量，则 （1）用s=z- 1代入特征方程 （2）将z看作新坐标，用劳斯判据再次判

8、稳。,3.5 稳定性分析及代数判据,例 设系统如图示。请用劳斯判据确定使此闭环系统稳定的参数K的范围。 如果要求闭环系统的根全部位于s=-1垂线之左，K的取值范围应该多大。,3.5 稳定性分析及代数判据,解：系统开闭环传递函数分别为：,所以，系统闭环特征方程为：,3.5 稳定性分析及代数判据,出劳斯表：,系统稳定的充要条件是0K14。,3.5 稳定性分析及代数判据,要求所有根皆位于s=1 垂线之左，即相当于要求所有根皆在如虚线所示的新虚轴之左。 这相当于对原特征多项式作一变量代换，即令s1 =s+1，亦即s= s1 1。,将s1 1代替s代入原特征多项式： (s1 1)3 +14(s1 1)2 +40 (s1 1)+40K = s13 +11 s12 + 15s1 + (40K-27),3.5 稳定性分析及代数判据,出新的劳斯表：,系统稳定的充要条件：