平面的概念及表示

1、2.1.1 平面,一、平面的特征,“平面”是最基本的几何概念，对它只能描述而不加定义。,特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚薄”,【练习】判断下列说法是否正确？ (1)平行四边形是一个平面. (2)一个平面的面积是100cm2. (3)两个平面叠在一起比一个平面厚. (4)一个平面把空间分成了两部分.,二、平面的表示方法,1几何表示：一般用平行四边形表示;但在特殊情况下,也可以用三角形或其它图形来表示.,注意：(1)当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长；,(2)画直线与平面或平面与平面相交时，被遮挡的部分画成虚线或不画。,2字母表示：,用希腊字母,来

2、表示;例:平面,(注意:“平面”二字不能省略),用图形的顶点字母来表示;例:平面ABCD;,用平行四边形的一条对角线的顶点字母来 表示;例:平面AC;,二、平面的表示方法,长方体是我们非常熟悉的空间几何图形，有8个顶点，12条棱，6个面。你能发现图中的点、线、面之间有哪些位置关系呢？请举例说明.,三、点、线、面的基本位置关系的符号表示,从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系亦可借用集合中的符号来表示。,A a,A,A,A,a,b,a,a,a,A,例1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,a,A,B,a,b,P,l,四、练习

3、:,1.将下列文字语言转化为符号语言：,(6)点A在平面内，但不在平面内；,(7)直线a经过平面外一点M；,(8)直线l在平面内，又在平面内。,(1)点A、B在直线a上； (2)点C在平面内；,(3)直线a在平面内；,(4)点O不在平面内；,(5)直线b不在平面内；,长方体是我们非常熟悉的空间几何图形.你能发现图中的点、线、面之间有哪些位置关系呢？,例2 三个平面可以将空间分为多少部分？,4或6或7或8部分,作业：P51 1、2、8,平 面,P51 作业,1.,2,8.解:共分为:39=27部分.,桌面,A,B,观察下图，你能得到什么结论？,桌面,A,B,观察下图，你能得到什么结论？,公理1

4、如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).,桌面,A,B,观察下图，你能得到什么结论？,一、平面的基本性质,公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.,说明：,也叫做直线在平面内或平面经过直线。,这是判断一条直线是否在平面内的依据,用图形表示时,表示直线的线段一定要画在表示平面的平行四边形内部.,图形表示,观察下图，你能得到什么结论？,B,C,A,B,C,A,B,C,A,观察下图，你能得到什么结论？,公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.,B,C,A,B,C,A,观察下图，你能得到什么结论？,

5、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,说明：,可以叙述为:不共线的三点确定一平面；,这是确定一个平面的依据;,“有且只有”和“确定”的含义包括两方面,一是存在性,二是唯一性;,这三点必须是不共线的;,图形表示：,【练习】判断下列说法是否正确？ (1)三点确定一个平面; (2)一个圆周上的三点可以确定一个平面; (3)如果两个平面有三个不共线的公共点, 那么这两个平面就重合;,公理2：过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面.,推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。,推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。,推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。,公理

6、2 经过不共线的三点，有且只有一个平面。,公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过公共点的公共直线,图形表示：,这条公共直线叫做这两个平面的交线, 称这两个平面相交, 记作= l .,说明：,这是判断两个平面相交的依据.,【练习】1. 判断下列说法是否正确？ (1)两个平面相交至少有两个公共点; (2)两个平面相交,它们只有有限个公共点; (3)过一条直线的平面有无数个; (4)两个平面的交线可能是一条线段; (5)两个相交平面有不在同一直线上的公共点; (6)两个平面有无数个公共点,则它们重合。,图形表示：,判断题： （1）经过空间中一个点和一条直线只能作一个平面。

7、（） （2）若平面和有一条公共直线L和一个公共点P， 则P； ( ) （3）三条直线两两相交，则它们在同一个平面内 （ ） （4）三条直线两两平行，则它们在同一个平面内 （ ） （5）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 （ ）,二 、选择题 1经过同一条直线上三个点的平面 （ ） A 有且只有1个 B 有且只有3个 C 有无数个 D 只有0个 2直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面共有（ ） A 1个 B 3个 C 0个 D 6个 3过不共面的4个点中的3个点的平面共有（ ） A 0个 B 3个 C 4个 D 无数个 4空间可以确定一个平面的条件是（ ） A 两条直

8、线 B 一点和一直线 C 一个三角形 D三个点,C,B,C,C,5已知平面与、都相交，则这三个平面可能的交线有（ ） A 1条或2条 B 2条或3条 C 1条或3条 D 1条或2条或3条,C,7下列说法中正确的是（ ） A 空间的三个点确定一平面 B 四边形一定是平面图形 C 梯形一定是平面图形 D 六边形一定是平面图形 8下列的命题1）两条直线确定一个平面，2）点A在平面内，也在直线a上，则直线a在平面内，3）平面和相交于不在同一条直线上的三个点A、B、C；4）三条直线两两平行，则最多可确定三个平面。其中正确的有（ ） A 0 B 1 C 2 D 3,C,B,2.小结:平面的基本性质:,公理

9、1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.,公理2：过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面.,推论2 两条相交直线确定一个平面。,推论3 两条平行直线确定一个平面。,推论1 一条直线和外一点确定一个平面。,公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过公共点的公共直线,3、练习：P.43：练习： 1、2、3、,(2)描述三个公理的三种语言：文字语言、图形语言、符号语言。,4、作业：P.51习题2.1： 3(1)、(2), 7,再见!要努力啊,5.空间平行线的传递性,公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行,即 ab,bc,则ac,说明:公理

10、4是判断空间两直线平行的依据,例1 如图，定义:若A、B、C、D四点不共面，顺次连接四点得四边形ABCD是称作空间四边形。若空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形,若再加条件AC=BD，则四边形EFGH是什么图形？,例:请你作出长方体ABCD-A1B1C1D1两个对角面AA1C1C和BB1D1D的交线.,解:设AC与BD相交于O, A1C1与B1D1相交于O1,连结OO1,即为所求.,证明:,一、共线问题：,证明A、B、C三点共线，一般先证直线AB是平面、的交线；再证点C是与的公共点，从而点C在AB上，所以A、B、C三点共线。,例4. 若空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上各有一点P、Q、R、S，且直线PS与QR交于点K，求证：B、D、K三点共线。,二、共点问题：,空间四边形ABCD中，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA上的点，已 知EH和FG交于P点，求证: EH、FG、 BD三线共点.,例5,A,E,F,B,H,D,