常微分方程的数值解法

1、第九节 常微分方程的数值解法,一阶常微分方程的初值问题： 节点：x1x2 xn 步长 为常数,一 欧拉方法（折线法） yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1, , n 1) 优点：计算简单。 缺点：精度不高。 二 改进的欧拉方法,三 龙格库塔法(Runge-Kutta) 欧拉公式可改写为 （它每一步计算f(xi,yi) 一次，截断误差为O(h2),改进的欧拉公式可改写为 （它每一步计算f(x,y)两次，截断误差为O(h3),标准四阶龙格库塔公式 （每一步计算f(x,y)四次，截断误差为O(h5),例 分别用改进的欧拉格式和四阶龙格库塔格式解初值问题（取步长h=0.2）：,表74 节点

2、改进欧拉法 四阶龙格库塔法 准确解 0 1 1 1 0.2 1.186667 1.183229 1.183216 0.4 1.348312 1.341667 1.341641 0.6 1.493704 1.483281 1.483240 0.8 1.627861 1.612514 1.612452 1 1.754205 1.732142 1.732051 （注：书中P60已指出过准确解 ）,四 误差的控制 我们常用事后估计法来估计误差，即从xi出发，用两种办法计算y(xi+1)的近似值。 记 为从xi出发以h为步长得到的y(xi+1)的 近似值，记 为从xi出发以 h/2 为步长跨 两步得到的

3、y(xi+1)的近似值。设给定精度为 。如果不等式 成立，则 即为y(xi+1)的满足精度要求的近似值。,为了使初值问题的数值解达到事先指定的精度要求，我们采用不断缩短步长的办法（类似于变步长梯形法则所做的那样）。 从xi出发求y(xi+1)的满足精度要求的近似值的具体步骤如下： 第一步 由xi出发，以xi+1为目标， 计算 及 第二步 如果 ， 即为 y(xi+1)的满足精度要求的近似值，否则，继续下一步,第三步 如果 ，则将步长h折半， 从xi出发以区间xi,xi+1的中点（记为 ） 为目标，判别 如果 ，则得 的满足精度要求 的近似值 ，然后从 出发，以 xi+1为 目标，重复上述步骤，

4、否则继续下一步,第四步 如果 ，则将步长再 折半，从xi出发以区间 的中点 （记为 ）为目标，判别 如果 ，则得 的满足精度 要求的近似值 ，然后从 出发， 以xi+1为目标，重复上述步骤，否则继续 下一步,第N+2步 必有 ，从而得 的满足精度要求的近似值 ， 然后从 出发，以xi+1为目标，重复上 述步骤， ，最后得到y(xi+1)的满足精度 要求的近似值yi+1,卷积,在求拉氏逆变换的过程中，卷积往往有着重要的应用价值。 定义 称 为函数f1(t)与f2(t)的卷积。 注意：当t0时，f1(t)=f2(t) 0,交换律 f1*f2=f2*f1 例1 求t*sint 分配律 f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3,例2 求 函数是卷积的“单位元”。,卷积定理 Lf1(t)*f2(t)=Lf1(t)Lf2(t)=F1(p)F2(p) (或 F1(p)F2(p)=f1(t)*f2(t) ) 即：卷积的拉氏变