微积分基本公式

1、5.1 内容回顾,定积分定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的几何意义:,各部分面积的代数和,可积的充分条件:,1.,2.,且只有有限个间断点,定积分的性质,(设所列定积分都存在),( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,规定,定积分的性质,(定积分对积分区间具有可加性),推论1. 若在 a , b 上,则,6. 设,则,5. 若在 a , b 上,则,7. 定积分中值定理,则至少存在一点,使,推论2.,(ab时也成立),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若f(x)在 a , b 上连续,证明,且,若,则,(1),且,若,则,(2),且,若,则,(3),证:,(1)

2、,(反证),设,则存在x0使得f(x0)0,不妨设,则存在x0的某邻域U(x0,),当x属于U(x0,)时, f(x) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与,矛盾.,所以,且,若,则,(2),由(1)反证.,首先,若,由(1)得,矛盾,所以,(3)令F(x)=g(x)f(x),由(1)得, F(x)=g(x)f(x)0,即g(x)=f(x),机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分中值定理(推广),证明:则至少存在一点,若f(x)在a,b上连续,g(x)在a,b上连续且保号,使得,(保号的保持在积分内),证:,不妨设g(x)0,若g(x)0则命题显然成立,若g(x)0,则,设f(x)在a

3、,b上的最小(大)值为m(M).,m g(x) f(x) g(x)M g(x),在a,b上积分得,再由介值定理得,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.2 微积分的基本公式,第五章,(微积分的基本公式),一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,则物体在时间间隔,内经过的位移为,这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在这里s(t)是v(t)的原函数，即,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 若,(介于x与x

4、+h之间),说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(推导在后面),三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,例1. 计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,例2. 计算,解:,原式=,例4. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,解:,| |,例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹

5、车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,车到停车走了多少距离?,例6. 求,解:,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例8.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 设,求,在 , 的表达式.,解:,时,时,总之,内容小结,则有,1. 微积分基本公式,3. 变限积分求导公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,2. 定积分中值定理的推广,(a,b)或(b,a),所以,(保号的保持在积分