惯性定理及定性分类

1、3.3 惯性定理及定性分类,一、用坐标变换法化简二次型,利用可逆变换化二次型为标准型，就是要寻找可逆阵P，使得,对(A,E)行变换,对A相应列变换,例1：用一个坐标变换把下列二次型化为标准型：,二、惯性定理及规范形,定理3.10（惯性定理）,一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与,负系数的个数分别相等。,定理表明：P,N与化标准形的方法无关。,正惯性指数：标准形中的正系数的个数；P,负惯性指数：标准形中的负系数的个数；N,符号差：s=P-N,定理：,任一二次型可经满秩线性变换化为如下的规范形：,证明：,注意：二次型的规范形是唯一的。,用正交替换法化为如下的标准形：,用初等变换法化为如下的

2、标准形：,秩和正惯性指数分别相等。,两个n阶实对称矩阵合同,合同，其中+1和-1的个数共有 r(A)个。,任一实对称矩阵A与对角阵,注意：,例3：(1)已知二次型 系数矩阵为 A,其特征值为 写出它的一个标准形、规范形 及 。,解：,（2）已知二次型 系数矩阵为 A, P=4 ， 写出它的规范形,解：,一个二次型 如果对于任意不全为零的实 数 都有 ，则称二次型为 正定二次型（或二次型正定），且称正定二次型的 系数矩阵为正定矩阵（或称对称正定矩阵）。,定义3.5,三、实二次型与实对称矩阵的定性分类,f是正定的,f不是正定的,f不是正定的,结论：标准形更易判定,f是正定的,f不是正定的,启示：讨

3、论如下定理,定理：,满秩线性变换不改变二次型的正定性。,证明：,即经满秩线性变换得到的新二次型仍正定。,结论：二次型为正定当且仅当其标准形为正定。,进一步的结论：,正惯性指数 P=n 。,规范形为,标准形中的n个系数均为正,上述其它结论易证，请作练习。,证明：,经此变换,则该二次型仍正定,与正定性矛盾！,相应的实对称矩阵的结论：,正定二次型与正定矩阵一一对应，因此，有：,为正定二次型。,二次型,1、实对称矩阵 A 正定,存在可逆矩阵 P, 使得,2、实对称矩阵 A 正定,4、实对称矩阵 A 正定,A 的特征值均大于零,存在可逆矩阵 D, 使得,3、实对称矩阵 A 正定,（即合同于单位矩阵）,设

4、n阶实对称矩阵 ，将A的前k行和前k列元素,组成的子矩阵记为,定义,A 的各阶顺序主子式均大于零。,（SylvesterTh)实对称矩阵 A 正定,定理3.12:,例2：判定下列二次型的正定性：,解：二次型对应的矩阵为,计算各阶顺序主子式,是正定的。,正定矩阵的性质,4. 若B也为n阶正定矩阵，则A+B 也为正定矩阵;,若n阶矩阵A为正定矩阵，则,注意：此处不是合同关系！,例3 设 A 为正定矩阵，证明： A 一定可逆，且 A 的逆矩阵 也为正定矩阵。,因此 A-1也是正定矩阵。,故 A 一定可逆。,且,证：,因为 A 为正定矩阵，所以,二次型的有定性,（1）负定二次型 ： 一个二次型 如果对于任意不全为零的实数 都有 ，则称二次型为负定二次型（或二次型负定），且称负定二次型的 对应矩阵为负定矩阵（或称对称负定矩阵）。,（2）半正定（半负定）二次型： 半正定（半负定）矩阵,（3）不定二次型： 不定矩阵,即A 的各阶顺序主子式负正相间。,实对称矩阵 A 负定,推论：,证明：,定理3.11,（）f 负定,（2）f 半负定,（）f 半正定,（）f 不定,例、