拉伸压缩与剪切解析

1、材料力学的任务 材料力学的主要研究对象：杆件（杆、轴、梁） 杆件设计的基本要求：强度，刚度和稳定性 基本假设：连续，均匀，各向同性 内力的求法：截面法（截、取、代、平）,上一节回顾,应力定义 (正应力、切应力） 应变 （正应变、切应变）,1.研究对象：拉压杆,2.轴力的计算和轴力图的绘制,3.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相 关指标,4.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算,5.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移,6.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法,7.连接件的强度计算(剪切与挤压),本章主要内容,第二章 轴向拉伸和压缩,Mechanics of Materials,C

2、hapter2 Axial Tension and Compression,材料力学,房屋支撑结构,桥梁,拉压杆工程实例,2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例,曲柄滑块结构,飞机起落架,连杆,受力外力或其合力作用线与轴线重合，大小相等，方向相反。 变形 沿轴线伸长或缩短。 拉压杆外力或其合力的作用线沿杆件轴线的杆件。,拉压杆的力学特征：,思考：下列杆件是不是拉压杆？,2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 1 、横截面上的内力,截面法求内力,截: 假想沿m-m横截面将杆切开 取: 取左半段或右半段 代: 将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值,外

3、力的作用线与杆件轴线重合，内力的合力作用线也与杆件的轴线重合，称为轴力。,轴力定义：合力作用线垂直截面且通过截面形心的内力。 符号规定：拉力为正，压力为负。（离开截面为正，指向截面为负）,问题：取左端轴力向右，右端轴力向左，符号不是相反吗？,目 录,已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。,例题,解：1、计算各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,作图要求：图与杆轴线对齐，用工具作图。,轴力图：轴力沿杆件轴线的变化图,由平衡方程：,AB段,轴力图：表示轴力沿杆轴 变化的图。,例：画轴力图。,解：,分段计算轴力,画轴力图,例题

4、 1 一等直杆其受力情况如图所示， 作杆的轴力图.,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,解: 求支座反力,求AB段内的轴力,FN1,求BC段内的轴力,20kN,求CD段内的轴力,C,A,B,D,E,求DE段内的轴力,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力）FN4=20kN （拉力）,发生在BC段内任一横截面上,轴向拉伸与压缩的应力和圣维南原理,思考： 杆、 杆材料相同， 杆截面面积大于 杆，,若重量 ，哪根杆危险？,什么量适合量度安全程度？,横截面上的正应力,挂相同重物 ，哪根杆危险？,1.实验

5、观测 实 验,变形前：横线垂直于轴线。,变形后：横线仍为直线，且垂直于杆件轴线，间距增大。,研究方法,一、拉压杆横截面上的应力,2. 假设：横截面上各点处仅存在正应力，并沿截面均匀分布。,3. 横截面正应力公式,正应力；,杆件横截面面积；,轴力。,符号规定：拉应力为正，压应力为负。,4. 实验验证：如光弹试验,例：求下列杆件横截面上的应力。,（1）,（2）,（1）解: 计算内力（轴力）,计算应力,（2）解:,例题2-2,图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2

6、杆）用截面法取节点B为研究对象,45,2、计算各杆件的应力。,二、拉压杆斜截面上的应力,思考：斜截面上有何应力？如何分布？,横截面上正应力分布均匀,横截面间的纤维变形相同,斜截面间的纤维变形相同,斜截面上应力均匀 分布,分析：,应力最大值：,三、圣维南原理,杆端作用均布力，横截面应力均匀分布。 思考： 杆端作用集中力，横截面应力均匀分布吗？,圣维南原理：,力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布， 影响区的轴向范围约离杆端约1个杆的横向尺寸。,有限元结果,圣维南原理为材料力学公式的适用性提供了依据。,复 习 1、应力定义 (正应力、切应力） 2、应变 （正应变、切应变） 3、拉压杆

7、 轴力（拉正压负） 轴力图 4、拉压杆应力 平面假设 横截面正应力公式 5、拉压杆斜截面应力 6、圣维南原理,一、拉伸试验,1. 标准拉伸试样,GB/T6397-1986金属拉伸试验试样,2-4 材料拉伸时的力学性能,常温: 室内温度 静载: 以缓慢平稳的方式加载,圆截面,矩形截面,2. 试验装置,3. 拉伸试验与拉伸图 ( F-l曲线 ),低碳钢拉伸图 ( F- l 曲线 ),拉伸图与试样的尺寸有关。 为了消除试样尺寸的影响， 把拉力F除以试样的原始面积A， 得正应力；同时把 l 除以标距 的原始长度l ,得到应变。,表示F和 l关系的曲线， 称为拉伸图(tension diagram ),

8、二、低碳钢拉伸力学性能,3、强化阶段 ,4、局部变形阶段 出现颈缩,1、弹性阶段 ,2、屈服阶段 ,应力-应变图(stress-strain diagram),(a) 弹性阶段,试样的变形完全弹性的. 此阶段内的直线段材料满足 胡克定律(Hookes law),应力和应变关系曲线,弹性模量,b点是弹性阶段的最高点.,(b) 屈服阶段,当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服(yielding).,弹性变形 塑性变形,c点为屈服低限,(c)强化阶段,过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力， 要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化 (hardening)

9、,e点是强化阶段的最高点,(d) 局部变形阶段,过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现 颈缩 (necking)现象. 一直到试样被拉断.,屈服,局部变形,滑移线,缩颈与断裂,断口,低碳钢试件在拉伸过程中的力学现象,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 。,断面收缩率,伸长率,三、伸长率和端面收缩率, 塑性与脆性材料 塑性材料： d 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： d 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等,四、卸载定律及冷作硬化,卸载定律 (Unloading law),若加载到强化阶段的某一点d 停止加载

10、，并逐渐卸载，在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化，荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律(Unloading law).,a,b,c,e,f,O,g,f,h,弹性应变,塑性应变,在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大.这种现象称为冷作硬化。,冷作硬化,工程上常利用冷作硬化来提高材料强度,冷作硬化：预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高的现象。,思考：颈缩阶段，没有冷作硬化了吗？应力为什么会出现下降？,例：试在图上标出D点的 及材料的延伸率,其它塑性材料拉伸时的力学性能,对于没有明显屈服阶段的塑性材料 把塑性应变

11、0.2%对应的应力称为名义屈服极限，表示为,2、脆性材料（铸铁）,铸铁拉伸 时的力学性能 1）应力应变关系是微弯曲线，没有直线阶段 处理以割线的斜率作为弹性模量 2）只有一个强度指标,3）拉断时应力、变形较小 脆性材料,强度极限拉断时的最大应力,25 材料在压缩时的力学性能,实验条件： 避免被压弯，金属试件一般为很短的圆柱 混凝土、石料等 ，试样为立方形的试块,低碳钢压缩的实验,低碳钢压缩时的弹性 模量E屈服极限s都与拉 伸时大致相同。 屈服阶段后，试件越 压越扁，横截面面积不 断增大，试件不可能被 压断，因此得不到压缩 时的强度极限。,铸铁压缩 时的-曲线,铸铁压缩时破坏端面与横 截面大致成

12、450 550倾角， 表明这类试件主要因剪切 而破坏。铸铁的抗压强度 极限是抗拉强度极限的 45倍。,请 思 考，并 准 备 回 答,1. 对于没有屈服阶段的塑性材料，如何确定其屈服强度?2. 什么是割线弹性模量?,一、失效与许用应力,2-7 失效、安全因数与强度计算,失效：断裂、屈服或显著的塑性变形, 使材料不能正常工作。,极限应力 ： 强度极限 （脆性材料） 屈服应力 （塑性材料）,工作应力：构件实际承载所引起的应力。,许用应力：工作应力的最大容许值,n安全因数，n1,塑性 n =1.5 - 2.5 脆性n = 2 - 3.5,二、强度条件,强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条

13、件。,思考：,强度条件有何应用？,拉压杆强度条件：,三、强度条件的应用,三类常见的强度问题,校核强度：已知外力，A，判断,是否能安全工作？,截面设计：已知外力， ，确定,确定承载能力：已知A， ，确定,例2图示三角形托架,其杆AB是由两根等边角钢组成。已知F=75kN, =160MPa, 试选择等边角钢的型号。,CL2TU7,解：,例3：图示起重机，钢丝绳AB的直径d=24mm，=40MPa，试求该起重机容许吊起的最大荷载 F。,解：1.求钢丝绳AB的内力,2.确定容许吊起的最大荷载F,例题4 简易起重设备中，AC杆由两根 80807 等边角钢组成，AB杆由两根 10号工字钢组成. 材料为 Q

14、235钢，许用应力 =170MPa .求许可荷载 F.,解：(1) 取结点A为研究对象，受力分析如图所示.,结点A的平衡方程为,由型钢表查得,得到,(2) 许可轴力为,(3)各杆的许可荷载,(4) 结论：许可荷载 F=184.6kN,例题5 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力 F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力 =160MPa，试校核CD杆的强度，并求： （1）结构的许可荷载F； （2）若F=50kN，设计CD杆 的直径.,解：(1) 求CD杆受力,X,（2）结构的许可荷载F,由,得,(3) 若F=50kN，设计CD杆的直径,由,得,取d=25mm,四、强度条件

15、的进一步应用,1.重量最轻设计,已知： 大小 与方向，材料相同 可设计量： 目标：使结构最轻（不考虑失稳）,分析：利用强度条件， 可表为 的函数，结构重量可表为 的函数，并进一步表为 的单变量函数，于是可以由求极值的方法设计。,1.重量最轻设计（续）,解：设材料重度为,结构重量,2-8 轴向拉伸或压缩时的变形 (Calculation of axial deformation),一、纵向（轴向）变形（Axial deformation),2、轴向应变（Axial strain),1、轴向变形（Axial deformation),二、横向变形（Lateral deformation),三、泊松

16、比 (Poissons ratio),称为泊松比 (Poissons ratio) 常数（比例极限内）,2、横向应变（Lateral strain),1、横向变形（Lateral deformation),四、胡克定律 (Hookes law),式中 E 称为 弹性模量(modulus of elasticity) ，EA称为 抗拉（压）刚度(rigidity).,实验表明工程上大多数材料都有一个线弹性阶段，在此线弹性范围内，正应力与线应变成正比.,胡克定律,拉压刚度,例题1 图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400m

17、m。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：,(1) -、-、-截面的轴力并作轴力图,(2) 杆的最大正应力max,(3) B截面的位移及AD杆的变形量,解：求支座反力 R = -50kN,-、-、- 截面的轴力并作轴力图,(2) 杆的最大正应力max,AB段：,DC段：,BC段：,max = 176.8MPa 发生在AB段.,(3) B截面的位移及AD杆的变形,例题2,AB 长2m, 面积为200mm2。AC 面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。（吊车变形视频）,解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象,2、根据胡克定

18、律计算杆的变形。,斜杆伸长,水平杆缩短,目 录,3、节点A的位移（以切代弧）,目 录,节点A的位移的精确计算 及其困难。,位移求法：杆1伸长 到 点， 杆2伸长 到 点， 以B、C为圆心作圆交于A点,计算困难：解二次方程组；由于 位移内力变化，需迭代求解.,小变形：与结构原尺寸相比 为很小的变形。,实用解法： *按结构原几何形状与尺 寸计算约束反力与内力； *采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。,小变形问题实用解法,变形(伸长或缩短)+ 转动(切线代圆弧),例题6 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成. 已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 =300 的角度， 长度均为 l = 2m，直径均为 d

19、=25mm，钢的弹性模量为 E=210GPa.设在点处悬挂一重物 F=100 kN，试求 A点的位移 A.,解：(1) 列平衡方程，求杆的轴力,(2)两杆的变形为,变形的几何条件相同，变形后，两杆仍应铰结在一起.,（伸长）,以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A，即为A点的新位置.AA 就是A点的位移.,因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A,可认为,例：ABC刚性杆，求节点C的位移。,然后画B点位移,思考：有同学问BB,CC铅垂向下，刚性杆ABC杆为什么能伸长？,再画C点位移,答：切线代圆弧的近似。,1,解：先计算杆1内力 与伸长,功能原理成立条

20、件：载体由零逐渐缓慢增加，动能与热能等的变化可忽略不计。,应变能（ ）：构件因变形贮存能量。,2-9轴向拉伸或压缩的应变能,固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能,二、轴向拉伸或压缩时的应变能,在比例极限范围内，拉力F在伸长量l时，所作的总功为：,拉力F在伸长量l1时，所作的总功为：,当应力小于比例极限时；并忽略动能、热能等能量，应变能为：,F,*非线性弹性材料,外力功计算,应变能如何计算计算?,功能原理是否成立?,*塑性与非弹性材料,三、单位体积内的应变能应变能密度,应力均匀：,代入比例极限时： 回弹模量度量线弹性范围内材料吸收能量的能力,应力不均匀：,应变能密度的单位：J/m3,例

21、 简易起重机如所示，BD杆为无逢钢管,外径90mm,壁厚2.5mm，杆长3m，E210GPa；BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，E1177GPa， P=30KN，不考虑立柱的变形，求B点的垂直位移。(BC、BD应力均小于比例极限),解：BC=2.2m,CD=1.55m，A1=344mm2,A=687mm2,BC杆拉力：FN1=1.41P BD杆压力：FN2=1.93P,设B在垂直方向位移为,BC、BD看成一个弹性系统,P所完成的功在数值是应等于BC、BD两杆变形能的总和：,*超静定（静不定）问题：根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。,*静定问题 ：由静力平衡方程可确定全部未知力(

22、包括支反力与内力)的问题。,*超静定（静不定）度：未知力数与有效平衡方程数之差。,2.10 拉伸、压缩超静定问题,平衡方程,静不定问题求解思路,协调方程,求解,物理方程 ：,2、求解超静定问题的步骤(Procedure for solving a statically indeterminate),(1) 列静力平衡方程；确定静不定次数 (2)根据变形协调条件列变形几何方程 (3)将变形与力之间的关系（胡克定律，材料本构方程，物理方程）代入变形几何方程得补充方程 (4)联立补充方程与静力平衡方程求解,解：1、平衡方程,2、变形协调方程,3、胡克定律,4、补充方程,1、静不定问题需综合考虑静力学

23、、几何与物理三方面；,注意：,5、联立求解平衡方程及补充方程,2、内力特点：内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增 大，轴力亦增大。,2、几何方面,3、物理方面,4、支反力计算,何时,问题 ：,补充方程：,解1：1、静力学方面,例：求杆两端的支反力。,例：各杆拉压刚度EA，杆1，2 长l,解：1、画变形图,设节点C位移至C，过C点向三杆作垂线,2、根据变形图画受力图，假 设各杆均受拉。,思考：可否假设杆1，3受压，杆2 受拉求解？总结画受力画 变形图注意事项。,解：1、平衡方程,3、物理方程,2、变形协调方程,5、强度校核,4、解答,符合强度要求,思考：选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强

24、?,设,6、设计截面,思考：由上式设计的 能否取各自由上式的计算值？为什么？,设,4、解答,问题：如何建立变形协调条件？下述变形协调条件是否正确？,例：钢丝绳 不能承压，初拉力 ，求绳拉力。,分析：上述变形协调条件的错误在于遗漏了初应力。正确的变形协调条件是：,当,解：(1)变形协调条件,设 ，代入物理方程,例：钢丝绳 不能承压，初拉力 ，求绳拉力。,(2)平衡方程,(3)解答：,(不合题意，舍去),由平衡：,例题9 图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁 AB(AB的变形略 去不计)，在横梁上作用着荷载 F。如杆1、2、3的截 面积、长度、弹性模量均相同，分别 为 A，l，E. 试求1、2、3

25、三杆的轴力 FN 1， FN 2， FN 3.,F,解：(1) 平衡方程,这是一次超静定问题， 且假设均为拉杆.,(2) 变形几何方程,物理方程,(3) 补充方程,(4)联立平衡方程与补充方程求解,复习 1、轴向拉伸或压缩变形,2、拉伸或压缩应变能,3、超静定问题,2-11 温度应力与装配应力,思考：当温度变化时，杆内可能引起应力吗？,(1),(3),(2),(4), 超静定结构各构件杆变形必须服从变形协调条件，因此温度变化或杆长制造误差，一般将引起应力。, 由于杆长制造误差或温度变化，结构在未受载时已存在的应力，分别称为装配应力（又叫初应力或预应力）与温度应力或热应力。,例题11 图 示等直

26、杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承 的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为 A，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为 .试求温度升高 T时杆内的温度应力.,温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形， 不会引起构件的内力，但在超静定结构中变形将受到部分或 全部约束，温度变化时往往就要引起内力，与之相对应的应力 称为热应力(thermal stresses）或温度应力(temperature stresses),解 这是一超静定问题,变形相容条件是，杆的总长度不变. 即,杆的变形为两部分，即由温度升高引起的变形 lT 以及与轴向压力FR相应的弹性变形 lF,(1)变形几何方程

27、,(3)补充方程,(4)温度内力,(2)物理方程,由此得温度应力,由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应力。 静定问题无装配应力 超静定问题存在装配应力。 图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，因而产生轴力. 3杆的轴力为拉力，1，2杆的轴力为压力.这种附加的内力就称为装配内力. 与之相对应的应力称为 装配应力 (initial stresses) .,装配应力预应力、初应力,代表杆3的伸长,代表杆1或杆2的缩短,代表装配后 A 点的位移,(1) 变形几何方程,(2) 物理方程,(3)补充方程,(4) 平衡方程,FN1， FN2， FN3,(

28、4)联立平衡方程与补充方程求解,例题10 两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距 a. 试计算各杆内的装配应力. 已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体.,A,B,C,1,2,a,a,B1,A1,C1,l,3,C1,C,e,(1)变形几何方程为,C,(3)补充方程,(4)平衡方程,(2)物理方程,C,A,B,FN3,FN1,FN2,联立平衡方程与补充方程

29、求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.,开有圆孔的板条,因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的 现象，称为应力集中（stress concentrations),带有切口的板条,2-12 应力集中（ Stress concentrations),应力集中系数（ stress- concentration factor),截面尺寸改变的越急剧、角越尖、孔越小，应力集系数越大，应力集中的程度越严重。 进行零件设计时应尽可能避免带尖角的孔或槽，在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡。,应力集中对构件强度的影响,对于脆性材料构件，当 smaxsb 时，构件断裂,对于塑性材料构件，当smax达到ss 后再增

30、加载荷， s 分布趋于均匀化,应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大,静载荷,动载荷,一、基本概念和实例 (Basic concepts and examples),1、工程实例(Engineering examples),(1) 螺栓连接( Bolted connections),2-13 剪切和挤压 (Shear deformation),(2) 铆钉连接(Riveted connections),(3) 键块联接(Keyed connection),(4) 销轴联接(Pinned connection),铆钉连接,销轴连接,动画实例,冲压剪切动画,2

31、、受力特点(Character of external force),以铆钉为例,构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用.,3、变形特点(Character of deformation) 构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动.,二、剪切的应力分析 （Analysis of shearing stress),1、内力计算(Calculation of internal force ),FS - 剪力(shearing force),2、切应力（ Shearing stress）,式中， FS - 剪力(shearing force),A-剪切面的面积 (area in s

32、hear),假设切应力在剪切面上均匀分布,3、强度条件（Strength condition), 为材料的许用切应力 (Allowable shearing stress of a material),(factor of safety),n - 安全系数,- 剪切极限应力,(ultimate shearing stress),常由实验方法确定,螺栓与钢板相互接触 的侧面上，发生的彼 此间的局部承压现象， 称为挤压(bearing).,三、挤压的应力分析 (Analysis of bearing stress),在接触面上的压力， 称为挤压力(bearing force)， 并记为 F .,1、挤压力(Bearing force) F = FS,（1）螺栓压扁,（2）钢板在孔缘压成椭圆,2、挤压破坏的两种形式 (Two types of bearing failure),3、挤压应力（Bearing stress),F -挤压力 (bearing force),AbS -挤压面的面积（area in bearing),4、强度条件(Strength condition),bS-许