拉普拉斯变换

1、1,5,信号与系统 Signals and systems,第五章 拉普拉斯变换 Laplace transform,傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。 为了使不满足这一条件的信号，也能读出它的“频率”，拉普拉斯变换和Z变换，对“频率”的含义做出了扩充，使得大多数有用信号都具有了对应的“频率”域表达式，方便了对各个器件的设计。,傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）。 CTFT是将连续时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到拉普拉斯变换。 DTFT是将离散时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到Z变换。

2、,1、连续时间傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系,20,5.1 拉普拉斯变换,并不是所有f(t)的傅氏变换都存在,傅氏级数的收敛条件狄里赫利条件（Dirichlet condition）：,1,信号 f (t) 在任意一个周期 T 内绝对可积,2,3,信号 f (t) 在任意一个周期T 内，只有有限个极大和极小值点,信号 f (t) 在任意一个周期 T 内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处 f (t)必须是有限值,21,通过选择合适的实数 ，可使信号 是绝对可积分的，所以 的傅氏变换 存在 。,引入,定义：,(5.1.1),(5.1.2),22,令复数,令,(5.1.4),(5.1.3),24

3、,根据傅氏逆变换，有:,将,代入上式得,两边乘以,有：,(5.1.5),(5.1.6),(5.1.7),25,因为,，所以,。当,时，,，又有,(5.1.8),26,或,的拉普拉斯变换（Laplace transform),拉普拉斯逆变换(inverse Laplace transform),简记为,(5.1.9),(5.1.10),三、一些常用函数的拉氏变换,1、阶跃函数u(t),2、指数函数,3、tnu(t)（n是正整数）,4、冲激函数(t),注:单边拉氏变换从0-开始积分，与t0时函数形式无关。,29,拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：,（变量 t、 都是实数）,30,例5.1.2 求单边

4、指数信号 和 的拉氏变换，其中 为复数。 解：,当 时,所以，,，,同理，,，,(5.1.14),(5.1.13),31,的傅氏变换的收敛,称信号 的拉普拉斯变换收敛,将上式成立（即拉氏变换收敛）的 的取值范围，称为拉普拉斯变换的收敛域(region of convergence)，记为ROC。,5.2 拉普拉斯变换的收敛域,积分 有界时，,1.拉普拉斯变换的收敛域,(5.2.1),32,为了形象化地表示拉氏变换的收敛域ROC，通常将其图示在称为 平面(s-plane)的复平面上,33,拉普拉斯变换 通常可表示为：,定义一元M次方程 的根 为拉氏变换 的零点zeros)，在 平面上用“”表示。

5、,定义一元N次方程 的根 为拉氏变换 极点(poles)，在 平面上用“”表示。,2.拉普拉斯变换的零点和极点,(5.2.2),34,可用零点和极点表示为,将 的零点和极点标注在S平面上，称为拉氏变换的零极点图(pole-zero plot)。 除一个常数因子外，拉氏变换F(s)的代数表达式与其零极点图是等价的。,(5.2.3),35,收敛域应取3个信号收敛域的交集,例5.2.1：已知信号 ，求信号的拉普拉斯变换 ，并画出其零极点图。 解：,36,零点： 极点： 在S平面上， 的零极点图及ROC如下图所示,37,性质3：如果信号是时限信号 且是绝对可积的， 那么ROC是整个 平面。,性质1：在

6、 平面内，拉普拉斯变换的收敛域是平行 于 轴的带状区域。,性质2：如果信号 的拉普拉斯变换 是有理式， 则ROC内不包含任何极点。,3.拉普拉斯变换收敛域的性质,38,性质4：如果信号 是右边信号，且 的拉氏变换 为有理分式，则 的收敛域ROC为最右边极点的 右侧 平面。,例1 求因果信号 的拉氏变换及其收敛域。,解：,当 时，有,39,40,性质5：如果信号 是左边信号，且它的拉氏变换的 收敛域ROC为最左边极点的左侧 平面。,41,例2 求非因果信号 的拉氏变换及其收敛域。,解：,当 时，有,42,性质6 如果信号 是双边信号，且其拉氏变换 为有理分式，则 的收敛域ROC为两极点间平行于虚

7、轴的带状区域或为空集 。,43,例3 求函数 的拉氏变换及其收敛域。,解：,当 时，上式第一项存在；当 时，上 式第二项存在，,44,45,例5.2.3 如果信号 的拉氏变换为： 讨论不同的ROC及其对应的时间信号 。 解： 的极点为 ， 。如下图所示，以极点为界，可将平面分成三个区域、。,46,(1)若收敛域ROC为为区域，即 ，则,(2)若收敛域ROC为为区域，即 ，则,(3)若收敛域ROC为为区域，即 ，则,47,4.傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系,当信号 的拉氏变换 存在且收敛域包含虚轴时，其傅氏变换 可用其拉氏变换表示为,(5.2.11),48,例5.2.4 已知信号 的傅氏变换存在

8、，求 的拉氏逆变换。 解： 的极点为 ， 由于信号 的傅氏变换存在， 的收敛域必包含 轴。所以，ROC为,49,5.3 拉普拉斯变换的性质,1.线性: 已知,则,注意：由于可能出现极点和零点抵消，收敛域可能大于交集。收敛域包含R1和R2的交集，也可以是空集。,(5.3.1),50,例5.3.1 已知 ， 求 的拉普拉斯变换。 解： 其中，由于 的极点被 零点所抵消 ， 所以 的ROC扩大为,51,时移特性: 如果 则,(5.3.2),52,此性质说明，若波形延迟了t0，则它的拉氏变换应乘以 。由于 与 零极点相同，故二者收敛域相同。 根据时移特性，可得,注：观察下列图形的时移关系,（1）和（2

9、）的单边拉氏变换相同,解：, 求锯齿波的拉氏变换。,T,T,T,由时移性,所以,解：,利用时移可以求单边周期信号的拉氏变换,设f1(t)表示第一个周期的函数，则, 求半波正弦函数的拉氏变换。,解：,58,常用信号的拉普拉斯变换,59,例 5.3.3 求 的拉普拉斯变换。 解：,拉氏变换的线性,60,图5.3.1 例5.3.3信号波形,61,3.s域移位特性:,若,，且,则,(5.3.8),62,63,线性,S域移位特性,例5.3.4 求信号 及 的拉普拉斯变换。 解：,64,4. 尺度变换特性,若,，对,则,(5.3.15),65,66,67,例 5.3.5 设信号 的拉氏变换为 ，收敛域为

10、。求信号 的拉氏变换，并标明收敛域。 解：根据拉氏变换的时移特性,尺度变换特性,s域移位特性,68,5. 共轭特性:,例5.3.6 设实信号 的拉氏变换为 ，且已知 （）有两个极点，其中一个极点为 （）有1个零点 ； （）； 求的表达式及收敛域。,若,则,(5.3.17),69,解：,为实信号,应为实系数,共轭对称性,复数极点必共轭成对出现,的收敛域为,最后得,70,若 ，,6. 时域卷积特性:,则,(5.3.19),71,72,例5.3.7 已知信号 ， ， 为实数，计算卷积 。 解：根据单边指数信号的拉氏变换对,73,7. 时域微分特性,8. 时域积分特性,若,则,若,则,(5.3.20)

11、,(5.3.23),74,例5.3.8 利用时域微分特性，求下图(a)所示信号的拉氏变换。,(a) 信号 的波形,(b) 信号 的一阶导数,(c) 信号 的二阶导数,75,解：对信号 求一阶和二阶导数，如上图(b)、(c)所示 ， 可表示为 根据时域微分特性式,76,9. s域微分特性:,若,则有,例5.3.9求信号 的拉普拉斯变换。 解：因为,应用S域微分特性式,一般地：,(5.3.26),77,10. 初值定理和终值定理: 如果 是因果信号， 的拉氏变换为 初值定理(initial-value theorem ) 在原点不含冲激 及其各阶导数，则,2.终值定理(final-value th

12、eorem) 的收敛域包含虚轴，则,(5.3.31),(5.3.33),78,例5.3.12 已知信号 ，利用初值定理和终值定理求信号的初值和终值。 解： 满足初值定理和终值定理适用条件，所以,初值f（t）为t=0+时刻的值，而不是在t=0-时刻的值，无论拉氏变换F(s)是采用0-系统，还是采用0+系统，所求得s初值总是f(0+)。,物理解释：s , j相当于接入信号的突变高频分量，可以给出相应的初值f(0+)。,由上式也说明，根据象函数F(s)判断原函数是否包含冲激函内其各阶导数的存在。,F(s)必须是真分式，若不是真分式则必须应用长除法将F(s)化成一个整式与一个真分式F0(s)之和，即F

13、(s)=K (s) + F0(s)，而函数f(t)的初值 。,应用条件说明：, 求象函数反变换f(t)的初值。,F(s)不是真分式,解：,八、 终值定理,证明：,应用条件说明：, 仅当F(s)在s平面的虚轴上及其右边都为解析时（原点除外），终值定理方可应用。即，F(s)的极点都在s平面的左半平面或原点（仅有单极点）上，终值才存在。（虚轴上除原点外都不能有极点。）, 物理解释：s，j相当于直流状态而得到电路稳态的终值。,求终值首先要判断极点位置！,85,5.5 拉普拉斯逆变换的计算方法,1.复变函数积分（留数）法 根据定义，求拉氏逆变换，就是计算下面的积分： 根据复变函数理论，上述积分可用留数定

14、理来完成。实际中该方法使用较少。,86,2.部分分式分解法 可表示为 设 ，即 为真分式， ， ， ， 为极点（包括复数极点）。,(5.5.1),87,下面根据 有无重极点两种情况来讨论部分分式分解方法。 a. 的极点为单极点 由于 无重极点， ， ， ， 即互不相等。 根据代数理论，上式可分解为个一次分式的和，即,(5.5.2),(5.5.3),88,在上式两边同乘以一次项 ，得 再令 ，所以 同理可得任一系数 为,(5.5.4),(5.5.5),(5.5.6),89,求出所有系数 后，利用单边指数信号的拉氏变换对 位于ROC左侧 位于ROC右侧 其中， 。再根据拉氏变换的线性，就可以得到

15、的拉氏逆变换 。,(5.5.7),(5.5.8),90,b. 有多重极点 假设极点 为 的 重极点，则 根据代数理论， 可分解为 式中单极点的计算方法与前面单极点时相同。,(5.5.9),(5.5.10),91,下面给出与重极点有关的待定系数 ， ， 的求解过程。 在上式两边同时乘以 ，有 令 ，易得 对上式两边关于s求一阶导数，得,(5.5.11),(5.5.12),(5.5.13),92,在上式中，令 ，求得 同理，两边求两阶导数，并令 ，可得 按此方法，可得一般式为,(5.5.16),93,例5.5.1 求下面拉普拉斯变换的逆变换 解：由于 为三重极点， 为单极点 ，所以 根据式(5-5

16、-6)容易求得,94,所以， 可展开为,对于M N的情况,96,例5.5.2 求如下拉普拉斯变换 的逆变换 。 解：因为 不是真分式，因此先用长除法将其化为多项式与真分式之和，有 其极点为 ，所以有,97,利用式(5-5-6)求得待定系数为 所以,整理得,C. 包含共轭复数极点,例：求下列函数的逆变换,解：,上两式的分子应相等，即,解之得：,101,102,例5.5.3 求如下拉普拉斯变换 的逆变换 。 解： 可表示为 部分分式分解表示为,103,应用举例：,解：, 求三角波f(t)的拉氏变换。,解：,（方法一）按定义式求积分,（方法二）利用线性叠加和时移定理,（方法三）利用微分积分性质, 求

17、单边拉氏变换,解：,周期信号的拉氏变换及其应用,第一周期的拉氏变换,利用时移特性,利用无穷级数求和,单边正弦、余弦信号的拉氏变换,衰减余弦的拉氏变换,频移特性,矩形周期信号拉氏变换,第一周期的信号,第一周期的拉氏变换,利用时移特性 利用无穷技术求和,单对称方波,周期对称方波,乘衰减指数,包络函数,矩形脉冲衰减信号的拉氏变换,抽样信号的拉氏变换,抽样序列,抽样序列的拉氏变换,时域抽样信号,抽样信号的拉氏变换,二、用拉普拉斯变换分析电路s域元件模型,1、电路元件的s域元件模型,（1）电阻元件的s域模型,（2）电感元件的s域模型,或,注：电压源形式（回路分析）时，内电压源的极性与电感电流的极性相反；

18、 电流源形式（节点分析）时，内电流源的极性与电感电流的极性相同。,二、用拉普拉斯变换分析电路s域元件模型,1、电路元件的s域元件模型,（1）电阻元件的s域模型,（2）电感元件的s域模型,或,注：电压源形式（回路分析）时，内电压源的极性与电感电流的极性相反； 电流源形式（节点分析）时，内电流源的极性与电感电流的极性相同。,4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型,用拉氏变换分析电路的步骤：,（1）列s域方程。 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换变至s域； 直接按电路的s域模型建立代数方程。 （2）求解s域方程。 （3）F(s)f(t)，得出时域解答。,或,一、用拉普拉斯变换分析系统,1

19、、公式,2、积分、微分方程拉氏变换的步骤：,（1）在时域列出系统的微分方程。 （2）对微分方程取拉氏变换。 （3）求解代数方程，求象函数R(s)。 （4）取R(s)拉氏逆变换得响应r(t)。,解：,解：,如图t=0前开关S闭合，已进入稳定状态，t=0时开关打开。求Vr(t)并讨论R对波形有无影响。,解：,分析：R越大，波形在t=0开关打开瞬间的幅值越大，但衰减也越快。,二、用拉普拉斯变换分析电路s域元件模型,1、电路元件的s域元件模型,（1）电阻元件的s域模型,（2）电感元件的s域模型,或,注：电压源形式（回路分析）时，内电压源的极性与电感电流的极性相反； 电流源形式（节点分析）时，内电流源的

20、极性与电感电流的极性相同。,（3）电容元件的s域模型,注：电压源形式（回路分析）时，内电压源的极性与电容电流的极性相同； 电流源形式（节点分析）时，内电流源的极性与电容电流的极性相反。,或,2、复频域电路模型,（1）将原电路中的电压源和电流源都变换为相应的拉氏变换表示；将各电路元件都用相应的s域元件模型代替（初始状态变换为相应的电源）。,（2）对电路模型而言，应用各种分析正弦稳态电路的方法。,KVL：沿任意闭合回路，各段电压的代数和恒等于0。,KCL：对任意节点，在同一时刻流入该节点的电流代数和恒等于0。,及其他无源支路的串、并联，电压源与电流源的等效变换等。,3、用拉氏变换分析电路的步骤,解

21、：,解：,a,起止点,单边拉普拉斯变换,4.6 系统函数（网络函数）H(s),一、系统函数,1、定义,系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为“系统函数”（或网络函数）。,2、系统函数的表现形式,（1）策动点函数：激励和响应在同一端口,（2）转移函数（传输函数）：激励和响应不在同一端口,二、系统函数和冲激响应的关系,系统函数H(s)是冲激响应h(t)的拉氏变换。,三、求系统函数H(s)的一般方法,1、,2、已知电路，根据零状态下的s域电路模型求。,解：,3、已知系统微分方程，进行拉氏变换求H(s)。,解：,4、已知零状态响应及其输入，则 。,5、已知系统模拟框图，求H(s)。,4.7

22、由系统函数零、极点分布决定时域特性,一、系统函数H(s)的零极点和零极图,1、H(s)的零点和极点,（1）零点：H(s)分子多项式的根。,（2）零点：H(s)分母多项式的根。,（3）极点的阶：,（4）零点的阶：,2、H(s)的零极点分布图,S平面内，“”表示零点，“”表示极点， 同一位置上两相同符号表示二阶。,二、H(s)的零极点与h(t)波形特征的关系,1、极点位于左平面上,极点落在左半平面上， h(t)为衰减函数， 系统稳定。,2、极点位于虚轴上,极点落在虚轴上时， 为一阶极点，则h(t)为阶跃或等幅振荡，临界稳定（稳态响应）； 为二阶或更高阶极点，则h(t)为增长函数，不稳定。,3、极点

23、位于右平面上,极点落在右半平面上，h(t)为增长函数，系统不稳定。,4、零点的影响,零点的分布只影响时域函数的幅值和相移，不影响振荡频率和波形。,三、H(s)、E(s) 极点分布与响应特征的对应,完全响应 = 自由响应 + 强迫响应 = 瞬态响应 + 稳态响应 = 零输入响应 + 零状态响应,由经典微分方程可知,由工作状态决定，t,由因果关系决定,零状态响应：0时刻以前响应为0(初始状态为0)，系统响应取决于从0时刻加入的信号f(t). 零输入响应：从0时刻开始就没有信号输入(或说输入信号为0)，响应取决于0时刻以前的初始储能。,1、与自由响应、强迫响应特征的对应,现假设R(s)中无多重极点，

24、且H(s)和E(s)无相同极点，则,自由响应,强迫响应,自由响应的形式仅由H(s)决定，强迫响应的形式仅由E(s)决定； 而Ki、Kk则受H(s)和E(s)两方面的影响。, 用H(s)只能研究零状态响应，H(s)中零极点相消将使固有频率丢失。而在零输入响应中要求表现出全部固有频率的作用。,结论：, H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关。, 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)都有关。, E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与H(s)无关。, 强迫响应的幅度和相位与H(s)和E(s)都有关。,2、与瞬态响应、稳态响应特征的对应,系统响应的极点 = 系统函数的极点 + 激励信

25、号的极点,瞬态响应 = 左半平面上的极点产生的响应,稳态响应 = 虚轴（j）上或右半平面上极点产生的响应, t时趋于0的响应分量, t时留下来的响应分量,在左半平面上自由响应属于瞬态响应； 在虚轴或右半平面上自由响应属于稳态响应。,在左半平面上强迫响应属于瞬态响应； 在虚轴或右半平面上强迫响应属于稳态响应。, H(s)的极点, E(s)的极点,3、与零输入响应、零状态响应特征的对应,（1）求零状态响应,注：零极点可能出现相消现象,结论：由系数函数可以求系统的rzs(t)。,（2）求零输入响应,若系统函数H(s)不出现零极点相消现象，则H(s)的分 母就是特征方程，可由系统函数H(s)的分母即H

26、(s)的极点 确定零输入响应的形式。,结论：不能用H(s)研究rzi(t),若不出现零极相消现象则可以。,解：,180,5.6 LTI连续时间系统的s域描述,1. 系统函数的概念 一个LTI连续时间系统，输入和输出关系 对上式两边取拉普拉斯变换得： 定义系统函数：,(5.6.2),(5.6.1),181,由上式及拉氏变换的时域卷积特性可得： 系统函数 与微分方程具有一一对应关系，且通过对系统函数 求拉氏逆变换，可以得到系统冲激响应 。,(5.6.3),182,可表示为 系统的零极点也可用S平面的零极点图来表示，除一个常数K外，系统的零极点图与系统函数 具有一一对应关系,183,在描述一个LTI

27、连续时间系统时，单位冲激响应、微分方程、系统函数、系统零极点图四者是等价的，且可相互导出，关系如下图所示。,184,例5.6.1 已知LTI连续时间系统单位冲激响应 为 （1）求系统函数 及收敛域，系统零极点。 （2）求系统微分方程。 解：对冲激响应 求拉氏变换可得系统函数为 所以系统的零极点为 ， 。由 得,185,2. 系统因果性与系统函数收敛域的关系 根据5.2节收敛域的讨论，可得以下结论： 如果系统是因果的，则系统函数 的收敛域位于最右极点的右侧S平面。同样地，若系统是逆因果的，系统函数 的收敛域位于最左极点的左侧S平面。,注意，上述结论的逆命题不一定成立 。,186,3. 系统可逆性

28、与逆系统的系统函数 根据第二章2.6节的讨论，对冲激响应为 的LTI连续时间系统，其逆系统冲激响应 应满足 由拉氏变换的时域卷积特性，易得逆系统的系统函数 满足 即逆系统的系统函数 为原系统函数 的倒数。,(5.6.5),187,例5.6.2 已知LTI连续时间系统函数 为 （1）根据参数 ，讨论系统的因果性。 （2）求逆系统函数 和逆系统冲激响应 。 解：（）由系统函数可得系统冲激响应为,系统是因果系统,系统是非因果系统,188,（）逆系统函数为 对其取拉氏逆变换得,189,4. 系统稳定性与系统函数收敛域的关系 a.对于因果系统，如果 是有理函数，则系统稳定的充要条件是：系统函数 的所有极

29、点都位于左半S平面，即全部极点都有负的实部，或收敛域包含虚轴。 b.对于逆因果系统，系统稳定的充要条件是：系统函数 的所有极点都位于右半S平面，即全部极点都有正的实部，收敛域也包含虚轴。,190,c.如果 是双边的，则包含上面两种情况，可表述为：如果 是有理函数，系统稳定的充要条件是系统函数 的收敛域包含虚轴。即， 中右边信号的拉氏变换的极点都位于左半S平面， 中左边信号的拉氏变换的极点都位于右半S平面。 总结：系统函数H（s）收敛域包含虚轴是系统稳定的充要条件。,4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布,一、全通函数,1、定义,如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零点

30、与极点对于j轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则称全通系统或全通网络。,2、特性,|H(j)|=常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过，即，全通网络随 变化时，不影响待传输信号的幅频特性，只改变相频特性。,3、分析,二、最小相移函数,1、定义,零点仅位于左半平面或j轴的网络函数称为最小相移函数，该网络则称最小相移网络； 若网络函数在右半平面有一个或多个零点，则称为非最小相移函数，该网络则称非最小相移网络。,2、分析,(a),(b),3、非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即，非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。,如何分解,数字信

31、号处理 第2章 2004,式中 H(z)为非最小相位系统 Hmin(z)最小相位系统 HA(z)全通系统的传输函数,最小相位系统具有以下特性：,性质1 任何非最小相位系统都可以由 最小相位系统和全通系统相级 联构成。即,数字信号处理 第2章 2004,设H(z)仅有一个零点zo在单位圆外部，这样可将它写成,式中, H1(z)是一个零极点都在单位圆内部的最小相位部分，上式可改写成,*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后移到单位圆内。,数字信号处理 第2章 2004,性质2 最小相位系统的具有最小群延时 和最小相位滞后特性。,假设已知Hmin(z) 和H(z)，且Hmin(z) 和H(z)有

32、相同的幅度响应，即 。其相位响应分别为 。 令全通系统的传输函数 ，其相位响应为 因为全通系统函数的群延时总是大于零，故有,先说明最小群延时性质,或,说明最小相位系统具有最小的群延时。,数字信号处理 第2章 2004,假设已知Hmin(z)，其频率响应为 其中,再说明最小相位滞后特性,设zi是它在单位圆中的一个零点，Hmin(z)可表示为：,其中F(z)仍然是最小相位系统。,表示信号通过最小相位系统Hmin(z)后产生的相位滞后。,数字信号处理 第2章 2004,其中 表示信号通过系统HB(z)后产生的相位滞后.,由于HB(z)的零点z=(1/zi)*是zi的共轭倒数，在单位圆外，因此HB(z

33、)是非最小相位的稳定系统。它的频率响应HB(ej)为,将因子(1-ziz-1)用因子(-zi*+z-1)代替，得到系统HB(z)，,数字信号处理 第2章 2004,比较Hmin(ej)与HB(ej)可得,其中,如图所示,数字信号处理 第2章 2004,上式表明Hmin(ej)与HB(ej)具有相同的幅度响应特性,它们的相位响应的差别为,*表明，对0，p中的任何w恒有 ， 也就是说最小相位系统的相位滞后总是小于所有其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也就是最小相位系统名称的来由。,数字信号处理 第2章 2004,推论 全通系统的相位在0，p范围内为非正值。,因任何系统的相位可表示成最小相位系

34、统的相位与全通系统的相位之和，故有,由于相位滞后是相位的负值，因此由式 若用HB(ej)代替H (ej)得到,这说明在0，p范围内全通系统的相位为非正值.,数字信号处理 第2章 2004,若最小相位系统的单位脉冲响应为hmin(n)，与之具有相同幅度响应的系统的单位脉冲响应为h(n)，若系统的输入为(n)，系统的输出就是单位脉冲响应，因此最小能量延时的特性可以表示为,性质3 最小相位系统具有能量延时最小的特性,数字信号处理 第2章 2004,由式 知，可以将一般的系统表示成最小相位系统和全通系统相级联的形式，如图所示。,可以证明信号经过全通系统后能量不变，因此对因果系统有,数字信号处理 第2章

35、 2004,设全通系统的单位脉冲响应为ha(n)，则有,取hmin(n)的前N项：x(n)= hmin(n)RN(n)作为全通系统ha(n)的输入，那么ha(n)的输出为,由于信号经过ha(n)后能量不变，因此,数字信号处理 第2章 2004,考虑n=0,N-1时h(n)的前N项，由于因果性，h(n)与所有nN-1后的输入hmin(n)无关，因此有,这样可得,从而证明了式 成立，,若令N=1，可得,4.10 线性系统的稳定性,1、时域判定法, 稳定性是系统自身的性质之一，与激励信号无关； 系统冲激响应h(t)或系统函数H(s)集中表征了系统的本性,能反映系统是否稳定。,（1）稳定系统： （2）

36、不稳定系统： （3）临界稳定系统：,2、s域判定法,（1）稳定系统： （2）不稳定系统： （3）临界稳定系统：,3、有界输入有界输出（BIBO）判定法,（1）定义： （2）充要条件： （3）稳定系统： 不稳定系统：,解：,方法二：,方法三：,（H(s)极点分布法）,4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,1、00,有始信号f(t)，当t0时f(t)=0。 现分析单边拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。,如，, 收敛边界落于s平面右半面； f(t)是增长函数； 此时j不在收敛域中，不能用F(s)|s= j来求F(j)。 f(t)的傅里叶变换不存在。,2、00,如，, 收敛边界落于s平面左半面； f

37、(t)是衰减函数； 此时j在收敛域中，可由F(s)|s= j来求F(j)。 f(t)的傅里叶变换存在。,3、0=0,如，, 收敛边界位于s平面虚轴上； f(t)是阶跃或振荡函数； 此时j在收敛域边界上，不能简单由F(s)|s= j来求F(j)，还要加上奇异函数项。,K2,K1,223,例5.6.4 已知LTI连续时间系统对输入的响应为 求系统函数和冲激响应，判断系统的稳定性。 解： 所以,224,由于的极点与输入信号的零点抵消，所以的收敛域为 或， （）收敛域为 由于收敛域包含虚轴，故系统是稳定的。,225,（2）收敛域为 由于收敛域不包含虚轴，此时系统是不稳定的。,226,. 系统频率响应与

38、系统零极点位置 当系统函数 的收敛域包含虚轴（即系统稳定）时，频率响应 可表示为 （否则不存在） 所以 在S平面上 ，可用模和辐角表示为,(5.6.10),(5.6.11),227,所以， 可写为 则 的幅频特性和相频特性可表示为,(5.6.13),228,例5.6.5 已知系统函数为 定性画出系统的幅频特性和相频特性。 解：系统频率响应 为,231,(a) 零极点图,(b) 系统幅频特性,(c) 系统相频特性,在S平面上，向量 如图(a)所示。可定性画出幅频特性和相频特性如图(b)和(c)所示。,232,6.全通系统的概念 若一个系统的幅频特性 是一个与频率无关的常数，则称这样的系统为全通系

39、统(all-pass system)。表示为 ， 是常数,如果一个系统的零点和极点关于,轴对称，则该系统是全通系统。,(5.6.16),233,7.最小相位系统的概念 对因果LTI连续时间系统，如果其系统函数的所有零、极点都位于左半平面，则称该系统为最小相位系统(minimum-phase system)。 最小相位系统的最大特点是，其逆系统也一定是因果的稳定系统。 任何一个因果的LTI连续时间系统，可表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。,234,例5.6.6 已知LTI连续时间系统函数 为 将 表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。 解： 可表示为 其中， 为最小相位系统， 而

40、为全通系统。,239,5.7 单边拉普拉斯变换,1. 单边拉普拉斯变换的定义 定义单边拉普拉斯变换(unilateral Laplace transform) 为 对比前面的拉普拉斯变换式 可以发现，两者的区别在于，单边拉普拉斯变换的积分下限为,(5.7.1),240,单边拉氏变换的逆变换为 单边拉氏变换常记为 或,(5.7.4),(5.7.5),(5.7.6),241,例5.7.1 求信号 和 的单边和双边拉氏变换。 解：已知信号 的双边拉普拉斯变换为 单边拉氏变换为,信号 的单边和双边拉氏变换是相等的，因为它是因果信号。,242,已知信号 的双边拉氏变换为 根据单边拉氏变换的定义，其单边拉

41、氏变换为,(5.7.7),243,2.单边拉普拉斯变换的时域微分特性 单边拉普拉斯变换的时域微分特性为： 若 ， 则, ,(5.7.8),244,5.8 用拉普拉斯变换求LTI连续时间系统响应,1. 用双边拉普拉斯变换求LTI连续时间系统响应 用双边拉氏变换求系统响应的理论基础，是拉氏变换的时域卷积特性式，即 如果LTI连续时间系统的系统函数 已知，输入信号 的双边拉氏变换 存在，则系统响应的拉普拉斯变换 可按上式可求得，再对求拉氏逆变换便可得系统响应 。,(5.8.1),245,例5.8.1 已知因果LTI连续时间系统微分方程为 若输入信号 ，求系统响应 。 解：对微分方程两边取双边拉氏变换

42、可得 同时，,246,系统响应的拉氏变换为,部分分式分解得,247,2. 用单边拉普拉斯变换求LTI连续时间系统全响应 根据5.7节讨论的单边拉普拉斯变换，其时域微分特性如下式 可以看出，如果对一LTI连续时间系统的响应 求单边拉氏变换，则其导数的单边拉氏变换中将包含 在 时刻的信息，即包含系统的初始状态。基于此，可用单边拉氏变换求系统的全响应。,248,例5.8.2 已知一因果LTI连续时间系统微分方程为 且已知 ， ， 。试求系统全响应 ，零输入响应 和零状态响应 。 解：（1）求系统全响应 对系统微分方程两边取单边拉氏变换，得,因为 是因果信号，所以单双边拉氏变换相同。,249,代入初始

43、条件和 ，并整理得 为,部分分式展开,250,（2）求零输入响应 。 令系统输入为零，得零输入响应的拉氏变换为,251,（3）求零状态响应 。 令系统初始状态为零，即令 ， ，得,252,3. 复指数信号通过LTI连续时间系统的响应 复指数信号 通过LTI系统的响应为,(5.8.6),253,例5.8.3 已知LTI连续时间系统微分方程为 且已知系统是稳定的，系统输入信号分别为 （1） ；（2） ；（3） 求系统响应 。 解：由于输入信号都是复指数信号的形式，其拉氏变换不存在，只能按式(5-8-6)求系统响应。系统函数为,254,（1）对信号 ，由于 位于收敛域内，故系统响应为: （2）信号

44、，由于 不在收敛域内，故系统响应不存在。,255,（3）输入信号 可表示为 显然复数 位于的收敛域内，所以响应为,260,5.9 LTI连续时间系统的方框图实现,1. 相互连接LTI连续时间系统的系统函数 a.系统的并联,(5.9.1),(5.9.2),261,b.系统的级联,(5.9.3),(5.9.4),262,c.系统的反馈连接,(5.9.7),(5.9.8),263,2.LTI连续时间系统的基本实现部件 a.加法器,(5.9.9),(5.9.10),264,b.乘法器,(5.9.11),265,c.积分器,(5.9.12),(5.9.13),266,3.方框图的直接、并联、级联实现形式 a.方框图的直接实现形式 设一阶LTI连续时间系统,其系统函数为,(5.9.15),267,(5.9.21),268,b.方框图的并联实现形式 设 为系统函数的N个单极点，则可分解为,(5.9.25),269,c.方框图