数值计算功能

1、2020/7/11,第6章 数值计算功能,1,第6章 数值计算功能,教学目标 教学重点 教学过程,2020/7/11,第6章 数值计算功能,2,教学目标,本章将介绍MATLAB 7的数值计算功能，包括MATLAB 7的向量、矩阵以及它们之间的运算。 介绍了一些特殊的矩阵数据结构。 最后介绍一些MATLAB 7与线性代数和概率统计的结合。 通过对本章的学习，读者可以编写简单且功能完善的MATLAB 7程序，从而解决各类基本问题，用户可以通过本章逐步掌握MATLAB 7的数值计算方法。,2020/7/11,第6章 数值计算功能,3,教学重点,矩阵的生成和基本的数值运算 稀疏型矩阵的生成和基本操作

2、数值微分的求解方法,2020/7/11,第6章 数值计算功能,4,教学过程,矩阵的生成和基本的数值运算 特殊矩阵的生成 稀疏型矩阵的生成和基本操作 稀疏型矩阵和满矩阵的相互转换 微分和积分的定义 数值微分的求解方法 对函数进行数值积分的方法 使用MATLAB 7进行线性代数的运算 使用MATLAB 7进行概率统计方面的运算,2020/7/11,第6章 数值计算功能,5,1. 矩阵的生成,矩阵的生成有多种方式，通常使用的有4种方法： 在命令窗口中直接输入矩阵 通过语句和函数产生矩阵 在M文件中建立矩阵 从外部的数据文件中导入矩阵, matrix=1 ,1, 1, 1;2, 2, 2, 2;3,

3、3, 3, 3;4, 4, 4, 4 matrix = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4,2020/7/11,第6章 数值计算功能,6,2. 矩阵的基本数值运算,矩阵与常数的四则运算 矩阵之间的四则运算, A=2 1 -1;2 1 0;1 -1 1 A = 2 1 -1 2 1 0 1 -1 1 B=1 -1 3;4 3 2； X=B/A X = -2.0000 2.0000 1.0000 -2.6667 5.0000 -0.6667,2020/7/11,第6章 数值计算功能,7,3. 特殊矩阵的生成,零矩阵和全1矩阵的生成 （zeros 、ones） 对角矩阵的

4、生成 （diag） 随机矩阵的生成 （rand、randn ） 范德蒙德矩阵的生成 （vander） 魔术矩阵的生成 （magic） Hilbert矩阵和反Hilbert矩阵的生成 （hilb、invhilb ）,2020/7/11,第6章 数值计算功能,8,特殊矩阵的生成举例, rand(5) ans = 0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2311 0.4565 0.7919 0.9355 0.3529 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.8132 0.4860 0.8214 0.7382 0.4103 0.0099 0.891

5、3 0.4447 0.1763 0.8936 0.1389 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,9,4. 稀疏型矩阵,稀疏矩阵的生成 稀疏矩阵与满矩阵的相互转换 稀疏矩阵的操作,2020/7/11,第6章 数值计算功能,10,（1） 稀疏矩阵的生成,在MATLAB 7中，生成稀疏矩阵用特殊的函数来进行，这些函数有speye、spones、spdiags、sparse、find、full、spalloc、sprand和sprandn 等。,2020/7/11,第6章 数值计算功能,11,Speye函数应用举例, A=eye(5) A = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

6、 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1, speye(size(A) ans = (1,1) 1 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1 (5,5) 1,2020/7/11,第6章 数值计算功能,12,（2）稀疏矩阵与满矩阵的相互转换,用来将稀疏矩阵和满矩阵相互转换的函数有sparse、full和find等3个函数 。 S(10,50)=82; S(32,14)=82; S(251,396)=25; I=find(S) 生成S中非零元素的位置 I = 3295 12309 99396,2020/7/11,第6章 数值计算功能,13,（3）稀疏矩阵的操作,对稀疏矩阵进行操作，主

7、要由nnz、nonzeros、nzmax、spones、spalloc、issparse、spyfun和spy等函数来实现 。, v=6 2 7 8 ; S=diag(v,1) R=sparse(S); N=issparse(S) N = 0 Y=issparse(R) Y = 1 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,14,5. 微分和积分,数值微分 使用diff函数求数值微分 使用gradient函数求近似梯度 jacobian函数求多元函数的导数 函数的数值积分 矩形求积 trapz函数(梯形求积) 自适应法(Simpson法) 高阶自适应法(Newton-Cotes法),2020

8、/7/11,第6章 数值计算功能,15,（1）数值微分, syms x y z jacobian(x*y*z; y; x+z,x y z) ans = y*z, x*z, x*y 0, 1, 0 1, 0, 1 syms u v jacobian(u*exp(v),u;v) ans = exp(v), u*exp(v) ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,16,（2）函数的数值积分, x=0:0.1:10; y=sin(x); z=cumsum(y)*0.1; plot(x,y,r-,x,z,k*) ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,17,6. MATLAB 7与线性代数,矩

9、阵的特征参数运算 矩阵的分解运算 矩阵的结构操作,2020/7/11,第6章 数值计算功能,18,（1）矩阵的特征参数运算,矩阵的乘方运算和开方运算 矩阵的指数和对数运算 矩阵的逆运算 矩阵的行列式运算 矩阵的特征值运算 矩阵(向量)的范数运算 矩阵的条件数运算 矩阵的秩 矩阵的迹,2020/7/11,第6章 数值计算功能,19,特征参数运算举例1,矩阵的逆运算 A=1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4 A = 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 B=inv(A) B = 1.0000 0 0 0 -0.5000 0.5000 0 0 -0

10、.5000 -0.1667 0.3333 0 0.1250 -0.2083 -0.0833 0.2500 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,20,特征参数运算举例2,矩阵的秩 T1=1 1 1;2 2 3 T1 = 1 1 1 2 2 3 r=rank(T1) r = 2 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,21,（2）矩阵的分解运算,三角分解(lu) 正交分解(qr) 特征值分解(eig) Cholesky分解(chol) 奇异值分解(svd),2020/7/11,第6章 数值计算功能,22,分解运算举例1,三角分解(lu) X=6 2 -1;2 4 0;1 4 -1;-1

11、 -1 3 L,U=lu(X) L = 1.0000 0 0 0.3333 0.9091 0.4068 0.1667 1.0000 0 -0.1667 -0.1818 1.0000 U = 6.0000 2.0000 -1.0000 0 3.6667 -0.8333 0 0 2.6818 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,23,分解运算举例2,正交分解 A=17 3 4;3 1 12;4 12 8 Q,R=qr(A) Q = -0.9594 0.2294 0.1643 -0.1693 -0.0023 -0.9856 -0.2257 -0.9733 0.0411 R = -17.720

12、0 -5.7562 -7.6749 0 -10.9939 -6.8967 0 0 -10.8412,2020/7/11,第6章 数值计算功能,24,（3）矩阵的结构操作,矩阵的标识 矩阵的扩充 矩阵的部分删除 矩阵的修改 矩阵结构的改变 矩阵的旋转和翻转,2020/7/11,第6章 数值计算功能,25,结构操作举例1,矩阵的标识 A=magic(4) A = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 A(2,4) ans = 8 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,26,结构操作举例2,矩阵的翻转 A=randn(3) A = -0.4326 0.2

13、877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273 B=fliplr(A) B = 1.1892 0.2877 -0.4326 -0.0376 -1.1465 -1.6656 0.3273 1.1909 0.1253,2020/7/11,第6章 数值计算功能,27,7. MATLAB 7 与概 率 统 计,随机数的产生 统计量的数字特征 参数估计 假设检验 统计作图,2020/7/11,第6章 数值计算功能,28,（1）随机数的产生,均匀分布的随机数据的产生 （unifrnd） 指数分布的随机数据的产生 （exprnd） 二项分布的随

14、机数据的产生 （binornd） 正态分布的随机数据的产生 （normrnd）,2020/7/11,第6章 数值计算功能,29,随机数的产生举例,均匀分布的随机数据的产生 unifrnd(1,4) ans = 1.6971 unifrnd(1,10,4,4) ans = 8.2438 1.4478 8.5948 4.9581 9.1756 1.7055 2.5651 4.0604 3.0870 6.7673 2.5371 3.8280 3.1538 2.7180 9.9487 4.2857 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,30,（2）统计量的数字特征,平均值和中位数 （mean 、

15、geomean ） 数据比较 （sort 、sortrows 、range ） 期望和方差 （mean、var ） 常见分布的期望和方差 （unifstat 、binostat ） 协方差与相关系数 （cov、corrcoee ）,2020/7/11,第6章 数值计算功能,31,统计量的数字特征举例1,算术平均值 A=magic(4) A = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 mean(A) ans = 8.5000 8.5000 8.5000 8.5000,2020/7/11,第6章 数值计算功能,32,统计量的数字特征举例2,样本的方差 B=ra

16、nd(4) B = 0.4966 0.8180 0.3412 0.8385 0.8998 0.6602 0.5341 0.5681 0.8216 0.3420 0.7271 0.3704 0.6449 0.2897 0.3093 0.7027 var(B) ans = 0.0327 0.0643 0.0375 0.0399,2020/7/11,第6章 数值计算功能,33,（3）参数估计,常见分布的参数估计 分布的极大似然估计值和置信区间 正态分布的参数估计 非线性模型置信区间预测 高斯牛顿法的非线性最小二乘数据拟合 非线性模型的参数估计的置信区间,2020/7/11,第6章 数值计算功能,34

17、,参数估计举例,分布的极大似然估计值和置信区间 X = betarnd (7,5,150,1); PHAT,PCI = betafit(X,0.03) PHAT = 7.7517 5.5560 PCI = 5.4440 4.0534 10.0594 7.0585 ,2020/7/11,第6章 数值计算功能,35,（4）假设检验,已知单个正态分布的均值的假设检验(U检验法) 2未知时，单个正态总体的均值的假设检验( t检验法) 两个正态分布均值差的检验(t检验) 两个分布一致性的检验秩和检验,2020/7/11,第6章 数值计算功能,36,假设检验举例,某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布，、2均未知。现测得16只元件的寿命如下 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)？,解：未知2，在水平=0.05下检验假设：H0：225 X=159 280 101 21