截面的几何性质解析

1、工程力学附录 截面的几何性质,轴向受拉压杆横截面上的应力：,受扭圆杆横截面上的应力：,截面的几何性质,反映截面形状与尺寸的量,1 定义,1.静矩（面积矩）,图形对 y 轴的静矩,静矩的单位：m3，cm3，mm3,杆件的横截面,图形对 z 轴的静矩,1 定义,2.惯性矩,图形对 y 轴的惯性矩,惯性矩的单位：m4，cm4，mm4,图形对 z 轴的惯性矩,1 定义,3.惯性积,图形对 y、z 轴的惯性积,惯性积、极惯性矩的单位：m4，cm4，mm4,图形对坐标原点的极惯性矩,4.极惯性矩,1 定义,3.惯性积,4.极惯性矩,1.静矩（面积矩）,2.惯性矩,平面图形对坐标原点的极惯性矩，等于该图形对

2、两直角坐标轴惯性矩的和,例： 试计算图示三角形截面对z 轴的静矩。,解：,解：,（dA=bdy）,例：试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴） z 和 y的Sz 、 Sy、 Iz 、 Iy 、 Iyz 、IP 。,例：试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴） z 和 y的Sz 、 Sy、 Iz 、 Iy 、 Iyz 、IP 。,解：,（dA=hdz）,解：,（dA=dzdy）,例：试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴） z 和 y的Sz 、 Sy、 Iz 、 Iy 、 Iyz 、IP 。,2 平面图形的形心,均质等厚薄板重心,平面图形的形心,平面图形对某一坐标轴的静矩，数值上等于平面图

3、形的面积与平面图形形心到该坐标轴的距离的乘积,静矩可能为正、负或零,平面图形对通过其形心的坐标轴的 静矩为零； 或者说如果一个平面图形对某坐标 轴的静矩为零，那么该坐标轴通过 平面图形的形心。,例：试确定图示T型截面的形心位置。,解：zC=0，只需计算yC,将截面分为I、II两个矩形，建立如图所示坐标系。,两矩形的面积和形心坐标如下：,于是：,3 惯性矩与惯性积的平行移轴公式,已知：平面图形对形心轴的,求：平面图形对新坐标轴的,同理,平面图形对平行于形心轴的任意坐标轴的惯性矩，等于平面图形对形心轴的惯性矩，加上平面图形的面积乘以两轴距离的平方,平面图形对平行于形心轴的任意坐标轴的惯性积，等于平

4、面图形对形心轴的惯性积，加上平面图形的面积乘以平面图形的形心在新坐标系的两个坐标值,惯性矩和惯性积的平行移轴公式。,例：试计算图示矩形截面对于z轴和 y轴 的Iy 、 Iz 、 Iyz 。,解：,（dA=bdy）,平行移轴公式,同理,4 惯性矩和惯性积的转轴公式,已知：平面图形对x、y轴的,求：平面图形对新坐标轴的,同理,惯性矩和惯性积的转轴公式。,5 截面的主惯性轴和主惯性矩, =0时, =90时,存在0，使得,此时的x、y轴称为截面的主惯性轴，简称主轴； 截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。,由,主轴,主惯性矩,注意：,2.对于平面内的任意一点，都可以找到一对主轴，求得相应主惯性矩；,1.主惯

5、性矩Ix0、Iy0是截面对通过同一点所有坐标轴的惯性矩中的极大值与极小值；,3.如果主轴通过截面的形心，称为形心主轴；截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,例： 试确定图示不等边L形截面的形心主惯性轴的方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。,矩形的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为 a=15 mm, bI=20 mm 矩形的形心在参考坐标系中的坐标为 a =-25 mm, b=-35 mm,解：(1) 取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将截面分为，两个矩形(如图所示) A=1 200 mm2, A=700 mm2,(2) 利用平行移轴公式求截面的 , 和,由于通过矩形和各自形心而平行于xC ，yC的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。,(3) 确定截面的形心主惯性轴 xC0，yC0 的方向,从所示惯性圆可见，2ao180,且为逆时针转向，于是由