平行关系的性质

1、1.5.2 平行关系的性质,一、直线与平面平行的性质,前面我们知道了如何来判断直线与平面平行，那么，已知直线和平面平行，我们又能有怎样的结论呢？,探究1:如果直线a与平面平行，那么直线a与平面内的直线有哪些位置关系？,异面,平行,探究2:若直线a与平面平行，那么在平面内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？,有无数条，这些直线之间互相平行.,探究3:如果直线a与平面平行，那么经过直线a的平面与平面有几种位置关系？,平行,相交,探究4:如果直线a与平面平行，经过直线a的平面与平面相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？,平行. 因为a,所以a 和没有公共点. 又因为b在

2、 内，所以b和也没有公共点. 而a和b都在平面内，又没有公共点，所以ab.,探究5:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.,定理5.3：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.,上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？,直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？,提供了作平行线的方法，并且是判断线线平行的依据.,直线和平面平行的判定定理:,直线与直线平行,直线与平面平行,直线和平面平行的性质定理.,注意:,平面外的一条直线只要和平面内的任一条直

3、线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行,思考：,有一块木料，棱BC平行于面A1C1 要经过面A1C1内一点P和棱BC锯开木料，应该怎样画线？ 这线与平面AC有怎样的关系？,例1 如图A,B,C,D在同一平面内，AB平面,ACBD,且AC,BD与分别交于点C,D求证:AC=BD.,证明 连接CD. 因为A,B,C,D在同一平面内， AB平面，,所以ABCD. 又因为ACBD,所以四边形ABCD是平行四边形 因此 AC=BD.,例2.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,过直线

4、EF作平面,分别交BD、CD于M、N,求证：EFMN.,例3 如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：APGH.,解如右图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO.,又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH， APGH.,又MO 平面BDM，PA 平面BDM， PA平面BDM.,四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中点 又M是PC的中点，MOPA.,已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD 外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 画出过G和AP的平面。,变式练习：,1. 如果一条直

5、线和一个平面平行，则这条直线（ ） A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。,D,2已知直线a、b和平面、，则在下列命题中，真 命题为( ) A若a，则a B若，a ，则a C若，a ，b ，则ab D若a，b，则ab,B,【解析】A中a可能在内，C中a、b可能异面，D中a、b 可能异面，B中，a ，则a与无公共点，a.,3已知，a ，B，则在内过点B的所有直 线中( ) A不一定存在与a平行的直线 B只有两条与a平行的直线 C存在无数条与a平行的直线 D存在唯一一条与a平行的直线,D,【

6、解析】因为a与B确定一个平面，该平面与的交线即为符合条件的直线,C,【解析】A中n与可能相交，B中n与可能平行，D中m、n可能相交，C中m即m、n所在平面与的交线,4对于直线m，n和平面，下面命题中的真命题是( ) A如果m，n ，m，n是异面直线，那么n B如果m，n ，m，n是异面直线，那么n与相交 C如果m，n，m，n共面，那么mn D如果m，n，m，n共面，那么mn,5、如图,已知直线a,b,平面,且a/b,a/,a,b都在平面外.求证:b/.,证明 过a作平面,使它与平面相交,交线为c.,因为a/b,所以,b/c. 又因为c,b, 所以b/.,因为a/,a,=c,所以a/c.,如果不

7、在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.,线线平行 线面平行,线面平行的判定定理,线面平行的性质定理,如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.,二、平面与平面平行的性质,第二课时,回想一下，平面与平面平行的判定定理是什么？,平面与平面平行的判定定理解决了平面与平面平行的条件问题，反之，在平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？,探究1:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？,结论:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.,探究2:如果两个平面平行，两个平面内的直线有什

8、么位置关系？,结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.,探究3:若 ，直线l与平面相交，那么直线l与平面的位置关系如何？,结论：相交,探究4:若，平面、分别与平面相交于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？,平行. 由于两条交线a,b分别在两个平行平面，内，所以a与b不相交. 又因为a,b都在同一平面内，由平行线的定义可知ab.,探究5:综上分析，在平面与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.,定理5.4 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.,上述定理通常称为平面与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表

9、述？,a/b,想一想:平面与平面平行的性质定理可简述为“面面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？,功能作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.,直线与直线平行,结论:,1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等.,直线与平面平行,线面平行性质定理,面面平行判定定理,平面与平面平行,面面平行性质定理,线面平行判断定理,四个平行定理的关系：,例1.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.,如图,/,AB/CD,且A, C,B,D. 求证:A

10、B=CD.,证明 因为AB/CD,所以过AB,CD可作平面,且平面与平面和分别相交于AC和BD.,因为/,所以BD/AC.因此,四边形ABDC是平行四边形.所以AB=CD.,例2 如图，平面，两两平行，且直线l与，分别交于点A,B,C,直线m与，分别交于点D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的长.,解 当直线m与l共面时，该平面与，分别交于直线AD,BE,CF,因为，两两平行，所以ADBE CF,故,当直线m与l不共面时，连接DC. 设DC与相交于点G,则平面ACD与，分别相交于直线AD,BG,平面DCF与，分别交于直线GE,CF.,因为，两两平行，所以BG AD,GECF. 因此

11、,所以 又因为AB=6,BC=2,EF=3,所以,DE=9.,1、设平面平面，A，B，C是AB的中点，当 A、B分别在、内运动时，那么所有的动点C( ),A不共面； B当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面； C当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面； D不论A、B如何移动都共面.,D,2过长方体ABCDA1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线， 其中能够与平面ACC1A1平行的直线有_条,【解析】如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4条，连接MN，则MN面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括MN).,12,3正方体ABCDA1B1C1D1中，E、M、F为棱B1C1，C1D1和B1B的中点，试过E、M作一平面与平面A1FC平行,解 如图，取CC1中点G，连接B1G，取C1G中点H，连接EH.则EHB1GFC. 同理，连接MH.则MHA1F. 连接EM， 又MHEH=H， 面EMH面A1FC， 即面EHM为所求平面,如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.,面面平行的判定定理,面面平行的性质定理,如果两个平行平面同时与