矩阵及其初等变换_第1页
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文档简介

1、矩阵通常用大写字母 记之。,矩阵的第 i 行第 j 列元素, 简称 (i , j) 元。,1.2 矩阵及其初等变换,或 或,特别地,(1) 当 时, 称A为n阶方阵或n阶矩阵, 即,其中 称为A 的主对角元。,(2) m=n=1 的矩阵 视同普通的数a。,(3) 只有一行的矩阵,称为行矩阵或n维行向量，ai 称为A的第i个分量。,称为列矩阵或m 维列向量，ai 称为A的第i个分量。,(4) 只有一列的矩阵,(5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O.,几种特殊的方阵,记作,1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零),2. 数量矩阵,3. 单位矩阵,4.上(下)三角矩阵,上三角,下三角,思考:

2、A是反对称矩阵，那么,则称A与B相等，记作 A = B.,定义1.2 设 是两个 矩阵,且满足,矩阵的初等变换,初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线性方程组的重要工具。,其核心思想是利用初等变换，把复杂矩阵化成简单矩阵来处理，同时要求简单矩阵还要保留原来矩阵的若干性质。,(3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，,(1) 交换矩阵的某两行，记为,(2) 以非数乘矩阵的某一行，记为,记为,称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:,定义1.3,类似定义三种初等列变换:,以上六种变换统称为矩阵的初等变换。,通常, 第一种初等行(列)变换又称对调变换；,第二种初等行(列)变

3、换又称倍乘变换；,第三种初等行(列)变换又称倍加变换。,例如,结论：初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换 类型相同.,逆变换,逆变换,逆变换,初等列变换也有类似的结果,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价。,定义1.4,就称矩阵A与B等价，记为,如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，,(1)反身性,(2)对称性,则,(3)传递性 若,则,例1 把 化成上三角矩阵。,解：,上述矩阵具有以下特点：, 每个阶梯上只有一行；, 每个阶梯上第一个数不等于0；, 阶梯的左下方元素全为0.,具有以上三个特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。,具有特点的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵。, 每个阶梯上第一个数为1，并且这些1所在列的,其它元素全为零。,特点,化阶梯形：从上到下，从左到右。,化最简形：从下向上，从右到左。,注意:箭头不能为等号,例2 只用初等行变换将矩阵A尽量化简.,阶梯形,阶梯形,最简阶梯形,根据例2，不难得到下面定理：,定理 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。行阶梯形矩阵不唯一，行最简形矩阵唯一。,例3 用初等行变换将A化为行阶梯形矩

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