3-2稳定性和误差

1、1,3.5线性系统的稳定性分析,3.5.1稳定的概念和线性系统稳定的充要条件,如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。,2,3,对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。,4,线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰

2、减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。 根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当 t时， g(t)收敛到原来的平衡点，即有,那么，线性系统是稳定的。,5,线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。,不

3、失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为,6,3.5.2线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为,式中，a0 0 , si（i =1,2 , , n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：,7,从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为： ai aj 0 ( i, j =1,2, , n) 即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为正，且

4、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。,8,表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。,a0 a2 a4 a1 a3 a5 c1 c2 c3 cn (an),sn sn1 sn2 s1 s0,( i 3, j = 1, 2, ),9,2.劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 例3-5 设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0试用

5、劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解：劳斯表,第一列元素 符号改变了2次，系统不稳定，且s 右半平面有2个根。,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 5 2 4,6,1,5,5,10,练习,例：系统的特征方程为：,试用劳斯判据判别该系统的稳定性。,11,练习,例：系统的特征方程为：,劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。,12,例3-6 系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为,第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下

6、处理：,s3 s2 s1 s0,1 3 0 2 , 用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,13,0+时，b1 0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次 系统有两个正根，不稳定。,（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0,s3 s2 s1 s0,1 3 0() 2,2,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 6 3 7 2/3 6 20 6,14,例3-7 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s)

7、 = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。 解:该系统的劳斯表如下,第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 2 1 1 2 2 0 0,15,由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和 s4= 2 。,用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零

8、行，继续劳斯表。,s4 s3 s2 s1 s0,1 3 2 1 1 2 2,4 2,F(s) = 2s2+ 2 F(s)= 4s,16,例：,1 6 8,1 3 0,3 8 0,从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：,劳斯判据特殊情况,辅助方程为： ，求导得： ， 或 ，用1，3，0代 替全零行即可。,此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。,17,（2）分析参数变化对稳定性的影响 例3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。,解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0,要使系统稳

9、定，劳斯表中第一列元素均大于零。 0 K 6,s3 s2 s1 s0,1 2 3 K (6 K)/3 K,18,分析系统参数变化对稳定性的影响,利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数 。,练习已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。,19,劳斯阵：,所以，临界放大系数,解：闭环传递函数为：,特征方程为：,20,确定系统的相对稳定性（稳定裕度）,利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳

10、定性或稳定裕量问题。,21,（3）确定系统的相对稳定性,例3-9 检验多项式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1的右边？,解：1),劳斯表中第一列元素均为正 系统在s 右半平面没有根，系统是稳定的。,2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0,s3 s2 s1 s0,2 13 10 4 12.2 4,22,劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系统在垂直线 s = 1的右边有一个根。,s13 s12 s11 s

11、10,2 1 4 1 0.5 1,2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0,23,练习已知系统的结构图，为使系统特征方程的根的实数部分不大于-1，试确定k值的取值范围。,24,解：闭环特征方程为：,现以 s=x-1代入上式，得,劳斯阵：,所以，此时k的取值范围为,25,3.6稳态误差的定义及一般计算公式,3.6.1误差的基本概念,1. 误差的定义 误差的定义有两种： 从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与主反馈信号之差，即 E(s)=R(s) B(s), 从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与希望值之差。（性能指标中经常使用） 对于单位反馈系统，两种定义是一致的。 2.两种定义的

12、关系,26,由图可知，R (s)表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的希望值。因而， E (s)是从输出端定义的非单位控制系统的误差。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s),由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。,27,3.稳态误差ess 定义：,例3-10 设单位反馈控制系统的开环传函为 试求当输入信号分别为r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 时，控制系统的稳态误差。 解：,当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3 解法一：,终值定理的条件

13、,28,解法二：,e(t) = T(tT) + T2 e t/T,(2)当 r(t) = 1(t) R(s) =1/s,(3)当 r(t) = t R(s) =1/s2,29,(4)当r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2),终值定理的条件不成立！,30,3.6.2 控制系统的类型,不失一般性，开环传函可写为：,N = 0 称为 0 型系统； N = 1 称为型系统； N = 2 称为型系统。 等等,在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：,31,3.6.3 给定信号作用下的稳态误差分析 1.阶跃输入作用下的稳态误差,令,系统的静态位置误差系数,0 型系统： Kp = K ess

14、= 1/ (1+ K) 型及型以上系统： Kp = ess = 0,32,2.单位斜坡输入作用下的稳态误差,令,静态速度误差系数,0 型系统： Kv = 0 ess = 型系统： Kv = K ess = 1/ K 型及型以上系统： Kv = ess = 0,33,3.加速度输入作用下的稳态误差,令,静态加速度误差系数,0 型系统： Ka = 0 ess = 型系统： Ka = 0 ess = 型系统： Ka = K ess = 1/ K 型及型以上系统：Ka = ess = 0,34,阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差,r(t)=t2/2,r(t)=t,r(t)=1(t),静态误 差系数

15、,系统 型别,ess=1/Ka,ess=1/Kv,ess=1/(1+ Kp ),Kp Kv Ka,N,1/(1+ K ),K 0 0,0,1/K,0,0, K,2,1/K,0, K 0,1,35,例3-11 已知两个系统如图所示，当参考输入 r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，试分别求出两个系统的稳态误差。,解：图（a），型系统 Kp = ， Kv =10/4 ，Ka = 0,图（b），型系统 Kp = ， Kv = ，Ka = 10/4,36,3.6.4 扰动作用下的稳态误差 所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。 计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。