§6.3.7不等式的证明(七)---习题课.ppt

1、黄冈中学网校达州分校,6.3.7不等式的 证明(七)-习题课,黄冈中学网校达州分校,一、复习引入：,1.重要不等式：,2.定理：,3.公式的等价变形：,黄冈中学网校达州分校,主要方法： .比较法,1)作差法步骤：,2)作商法步骤：,.综合法：,.分析法：,其它方法： .三角换元：,.代数换元：,.放缩法:,.反证法:,.构造法:,构造函数法:利用函数的单调性和求值域的方法解决问题; 构造方程法:利用方程有解的条件解决问题. 构造图形法:利用图形的直观性解决问题.,证明不等式的常用方法：,黄冈中学网校达州分校,例1 设mn,m,nN+,a=(lgx)m+(lgx)m,b=(lgx)n+(lgx)

2、n, 且x1求证：ab,证明：ab=(lgx)m+(lgx)m(lgx)n+(lgx)n,=(lgx)m(lgx)n,=(lgx)m(lgx)n,x1， lgx0,当0lgx1即1x10时，,又mn，故(lgx)mb,同理：当lgx1有ab,，当lgx=1有a=b,综上所述，总有ab.,黄冈中学网校达州分校,说明： 作差比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法，用作差比较法时要注意以下步骤： (1)作差：考虑不等式左右两边构成的差式，将其看做一个整体 (2)变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干因式的积，或变形为一个或几个平方的和等 (3)判断：根据已知条件与上述变

3、形结果，判断不等式两边的差的正负号 (4)结论：肯定所求证的不等式成立,黄冈中学网校达州分校,例2. 如果ab,ab=1，求证：,证明：因为ab，所以ab0，又知ab=1.,因为ab,ab0，所以,说明： 在运用算术平均数与几何平均数定理证不等式时，一定要注意定理的条件,黄冈中学网校达州分校,例3 .已知a,b,cR，求证：,证明：因为a2+b22ab，所以2a2+2b2a2+2ab+b2=(a+b)2,三式相加，得,当且仅当a=b=c时，取等号,黄冈中学网校达州分校,例4. 已知a,b,c为不等正数，且abc=1，,证法1： 因为a,b,c为不等正数，且abc=1，,证法2： 因为a,b,c

4、为不等正数，且abc=1，,黄冈中学网校达州分校,说明： 利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示条件与结论之间的因果关系为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系本题是条件不等式的证明问题，abc=1是特定的条件，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换就是证明不等式的关键,黄冈中学网校达州分校,例5. 已知a,b是正实数，且a+b=1，求证：3a+3b4,证明：由a+b=1可知3a+3b43a+31a4,(3a1)(3a3)0 13a3 0a1,由于a，b是正实数，且a+b=1， 因此 0a1一定成立， 故3a+3b4,黄冈中学网校达州分校,例6. 已知a，b是不等正数，且a3b3=a2b2， 求证：,证明： a，b是不等正数，且a3b3=a2b2 a2+ab+b2=a+b,3(a+b)4 3(a+b)24(a+b),(a+b)2=a2+2ab+b2a2+ab+b2=a+b (a+b)2a+b,a+b1,3(a2+2ab+b2)0,因