条件概率与乘法公式

1、第三讲 条件概率及相关公式,条件概率定义及条件概率公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式（综合分析得出某事件发生的概率）,在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些条件时随机事件发生的概率。,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,概率性质： 有限可加性,注意对此种条件概率的理解,知识框架图,S=HH,HT,TH,TT，A=HH,HT,TH,B=HH,TT,连抛硬币2次，观察向上面出现的情况。,求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率？,引例1,引例2：一批同型号降血压补品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表：,等级,数量,厂名,甲 厂,乙 厂,合 计,合格品,次 品,合 计,475,

2、25,500,644,56,700,1119,81,1200,问题1：从这批产品中随机抽出一件，问取出产品是甲厂生产的概率？,问题2：从这批产品中随机抽出一件，是次品的概率？,问题3：如被告取出产品是甲厂生产的，被抽产品为次品的概率？,问题4：问被抽取的产品是”甲厂生产的，同时为次品”的概率？,如果记“取出产品是甲厂生产的”为事件A，“取出产品为次品”为事件B，在事件A发生的条件下，求事件B发生的概率，即条件概率，记为P（B|A）。,注意观察问题1，3，4，,思考：,事实上，容易验证，对于一般的古典概率，只要P(A)0,总有,定义1： 设A，B两个事件，P(A)0， 将已知事件A发生条件下事件

3、B发生的条件概率记为P(B|A),条件概率的定义,P(B)0,2、在A已经发生的条件下，将S 缩减为A（即事件A所包含的基本事件全体）中，直接计算B发生的概率。,1、通过定义，在样本空间S中，先计算出P(AB)、P(A)，再利用定义计算:,条件概率的两种计算方法,P（A）=,=(g, g), (b, b), (b, g), (g, b),A=（b, b）,（b, g）,（g, b）;,B=（b, g）,（g, b）,记g表示女孩，b表示男孩，则,则在这种情况下事件B的概率为：,=（b，b）,（b，g）,（g，b）;,由于信息增加了，样本空间发生了变化，此,时样本空间为:,若事件B已发生, 则为

4、使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有,1. 对于任一事件B，有1 P(B|A) 0,2. P(S|A) 1,3. 设 两两互不相容,条件概率性质(自行验证),设事件A满足P（A）0，则,条件概率P(B|A)与无条件P(B)的区别,P(B)是在原始试验条件下事件B发生的可能性大小。,P(B)与P(B |A)的区别在于两者发生的环境不同,它们是两个不同的角度考虑的概率，在数值上一般也不同。,条件概率P(B|A)是在原始条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小，即P(B|A)仍

5、是概率。,一般的，P(B|A) P(B),P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例2 掷一颗均匀骰子，,例3 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,有关条件概率的三公式,乘法定理（同时发生的事件的概率） 全概率公式（如何以全局的观点认识事件的发生） 贝叶斯公式（）,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),乘

6、法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),注意P(AB)与P(A | B)的区别！,乘法公式,作用：计算两个事件同时发生的概率,例：,一袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取1球（不放回），求两次取到均为黑球的概率。,1、古典概型方法：,2、乘法公式方法：,解：,乘法公式的推广,对于任一n1，如果,则有,乘法公式适用范围：,求若干事件的积事件的概率，如果这些事件之间存在“顺序”，可以考虑“顺序”造成的概率影响，利用乘法公式求概率。,件是乙厂生产的. 而在这300个零

7、件中，有189个,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,例： 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300,这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(A|B)中作为条件.,例： 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=

8、能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为P(B|A) .,例： 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则,甲、乙被击落的概率。,的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算,机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机,就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲,击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，,分析：在这几个回合中,乙机有两次被击落的机会；,=“乙机第 次被击落”,甲机只有一次被击落的机会；,=“甲机被击落”,=“乙机被击落”,已知,例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=0，1,2,3,由全概率公式 P(B)= P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B |A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),且 B=A0B+A1B+A2B+A3B,求解如下:,则 构成一个完备事件组,可求得:,为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得: P(A1)=0.36;P(A2)=0.