线性系统的多项式矩阵描述

1、05级研究生线性系统理论教案,第10章 线性系统的多项式矩阵描述,10.1 多项式矩阵描述 前已讲过，多项式矩阵描述（PMD） P(s)(s)=Q(s)u(s) y(s)=R(s) (s)+W(s)u(s) 它是系统的内部描述，是最一般的描述。 不可简约PMD P(s)，Q(s)左互质，且P(s)，R(s)右互质 不可简约PMD不唯一 P(s),Q(s),R(s),W(s)不可简约U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵,04级研究生线性系统理论教案,由可简约PMD求不可简约PMD （1）P(s),Q(s)非左互质，P(s),

2、R(s)右互质 此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇 则,04级研究生线性系统理论教案,(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质 P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇,04级研究生线性系统理论教案,（3）前两种情况的组合 P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得,04级研究生线性系统理论教案,10.2 PMD的状态空间实现,一. 定义 给定P(s),Q(s),R(s),W(s)，若能找到状态空间描述 A,B,C,E(p)，使 实现不唯一，有维数最小的一类实现，称为最小实现。最小实现能控且能观，不同的最

3、小实现间代数等价。 二 . 算法：以构造观测器形实现为最简便 已知：P(s),Q(s),R(s),W(s), 求实现,04级研究生线性系统理论教案,思路： 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约，严格真； 在P(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求 的实现。 步骤： 先把 化成满足左MFD求实现的条件，即P(s)化为行既约， 严格真；,04级研究生线性系统理论教案,对 求观测器形实现（利用上节方法），得 必有 总之,04级研究生线性系统理论教案,实现为 三. 最小实现 当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=deg detP(s)的任何实现均为最小实现。,04级研究生线性系统理论

4、教案,10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性,互质性与能控性、能观性的等价性 1. 给定P(s),Q(s),R(s),W(s)，其维数为n=deg detP(s)=dim A的一个实现为A,B,C,E(p)，则 P(s),Q(s)左互质A，B能控 P(s),R(s)右互质A，C能观 2. 对右MFD， 能控类实现：A，B，C，E，dim A=deg detD(s) 则：D(s),N(s)右互质A,C能观 （已经能控） 对左MFD， 能观类实现：,04级研究生线性系统理论教案,3. 对A,B,C,E(p), A，B能控sI-A，B左互质 A，C能观sI-A，C右互质 此即为PBH

5、秩判据的结论。 4. SISO系统A，b，c， 则 系统完全能控且能观 g(s)无零极点相消 系统完全能控 adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象 系统完全能观 c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象,04级研究生线性系统理论教案,10.4 系统的零极点,一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。 同一系统，其PMD为P(s),Q(s),R(s),W(s)， 系统极点是det P(s)=0的根 状态空间描述为A,B,C,E 系统极点是det(sI-A)=0的根 以上二者是等同的。 系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数矩阵

6、时可能发生零极对消。 对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的解耦零点。,04级研究生线性系统理论教案,1. 输入解耦零点(input decoupling zero) 若P(s),Q(s),R(s),W(s)中，P(s)、Q(s)存在非单模的gcld H(s)，即 可见，H(s)中的gcld H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。 定义：det H(s)=0的根为输入解耦零点。 意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了 耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。 由于 所以，输入零点又等于使P(s) Q(s)行降秩的s值。,04级研究生线性系统理论教案,

7、2. 输出解耦零点(output decoupling zero) 若P(s)和R(s)存在非单模的gcrd F(s) 意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分状态不完全反映到系统输出中去。,04级研究生线性系统理论教案,3. 输入输出解耦零点 若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld) 同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s) 即 显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z., 又是o.d.z. 这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点，i.o.d.z,04级研究生线性系统理论教案,注： 求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不包含解耦零点。 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点Ps和零点Zs分别为,传递矩阵的零极点,O.d.z I.o.d.z I.d.z,输入,输出,04级研究生线性系统理论教案,以系统矩阵表示的零极点 同时使系统矩阵行