误差分析基础

1、2.误差分析基础,主要内容 检测精度 误差分析的基本概念 误差分类 误差传递法则 粗大误差,2.误差分析基础,科学实验和生产过程中对物理量或参数进行检测时，为了准确要分两步： 一、选用合适的仪器与测量方法获取实验数据； 二、对数据进行误差分析与数据处理。两者均重要，缺一不可。 实际中常忽视后者，导致无法确定获得的数据的可靠性，会得到错误的结论或掩盖了物理现象的本质。,2020/7/11,2,自动检测技术及仪表控制系统,2.1 检测精度,仪表的精度(precision)：指用该仪表进行测量时，能够精确到的最后一位数字是哪一量级，则该仪表的精度就是哪一量级。 精度是相对而言的，被测量大小不同，则精

2、度不同。 测量精度可以用误差来表示。测量精度越高误差越小；精度越低误差越大。 精度高的仪器其使用条件苛刻，维护费用大，实际使用时应适当选择测量精度。,2020/7/11,3,自动检测技术及仪表控制系统,2.2 误差分析的基本概念,2.2.1 真值、测量值与误差的关系,在有限次测量中，测量值的平均值与真值之间的偏差为：=A-A0 当n足够大时，平均值A可以认为最接近被测量的真值，即,误差x，即测量值M偏离真值A0的程度，即X= M- A0如果对同一个被测量测量了n次，得到n个测得值 Mi （i=1,2,n）。每个测得值的误差为： Xi=Mi-A0这组测量的平均值为,2020/7/11,4,自动检

3、测技术及仪表控制系统,2.2.2 几种误差的定义,残差（残余误差）：各测量值与平均值的差 vi=Mi-A 由平均值A的定义式可知：vi=0 （特征）,方差：,标准误差：,标准误差是方差的均方根值，它是表示测量值偏离真值的重要参数。（偏差小的测量精密度高）,？,2020/7/11,5,自动检测技术及仪表控制系统,2.2.3 测量的准确度与精密度,精密度：用同样的方法和设备对同一未知量进行多次检测时，测量值之间差异的大小。差异小的测量称为精密测量，即精密度高，反之，精密度低。,准确度(veracity)：在同样条件下，进行无数次测量时平均值与真值的偏差大小。偏差小的测量为准确测量，即准确度高。,2

4、020/7/11,6,自动检测技术及仪表控制系统,如图，曲线1和2是两条测量数据分布曲线。 A为被测量的真值， Aa为一种测量方法测得的平均值， Ab为另一种测量方法测得的平均值,曲线1表示准确却不精密 （误差小，标准误差大）； 曲线2表示精密却不准确 （误差大，标准误差小）。 只有准确度和精密度都高，才能称为精确的测量。,2020/7/11,7,自动检测技术及仪表控制系统,2.3 误差原因分析,产生误差的原因很复杂，可归纳为如下五种： 测量装置误差（质量问题、元器件老化等） 环境误差（温度、湿度等变化和辐射等） 方法误差（测量方法不正确，安装布置不当等） 人员误差（读表偏差、知识和经验的不同

5、等因素而造成的误差） 测量对象变化的误差（被测对象的不稳定或者测量器件进入被测对象也能造成测量误差）,2020/7/11,8,自动检测技术及仪表控制系统,2.4 误差的分类,按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 一、系统误差(systematic error)： 1.定义：相同条件下多次测量同一量时，误差的 大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化。 2.产生的原因：它是由测量工具或仪器本身或对 仪器使用不当而造成的。 3.消除方法：查明原因可以消除；对测量值进行修 正；改善测量条件；改进测量方法等。,2020/7/11,9,自动检测技术及仪表控制系统,二、随机误差(

6、random error) 1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，误差的大小和符号是无规律变化的误差。 2.产生的原因：是由测量过程中互相独立的、微小的偶然因素引起的。 3.消除：不能消除，也不能修正，值是随机的。 4.特点：多次重复测量时，总体服从统计规律，故可以了解它的分布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出估计，是误差理论的依据。,2.4 误差的分类,2020/7/11,10,自动检测技术及仪表控制系统,三、粗大误差(crassi error) 1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，明显偏离了结果的误差。 2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、测量条件的突然变化、仪器故障等

7、。 3.消除：遵循一定的规则。 4.特点：通常数值比较大。测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差的测量值称为坏值。判断某一测量值是否为坏值，可用统计方法或遵循一些准则。,2.4 误差的分类,2020/7/11,11,自动检测技术及仪表控制系统,三种误差可以互相转化。,正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消除，因此误差分析只是随机误差的分析。,三种误差的关系：,2.4 误差的分类,2020/7/11,12,自动检测技术及仪表控制系统,2.5 随机误差的统计处理,2.5.1随机误差的概率及概率密度函数的性质,1.误差函数有关的定义：,概率密度函数： 误差x发生的概率密度,概率元：误差x发

8、生的概率,误差在a与b之间的概率：,2020/7/11,13,自动检测技术及仪表控制系统,2.随机误差的统计性质 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。故f(x)为偶函数，其分布曲线对称纵轴。 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多，绝对值小的误差概率密度大; 抵偿性：随测量次数增加，随机误差的代数和为零，即正负误差相互抵消。 有界性:在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过 一定界限，即绝对值很大的误差基本不发生。,理论和实践证明：满足上述统计特征的随机误差在测量次数极大时必然服从正态分布。,2020/7/11,14,自动检测技术及仪表控制系统,随机误差的概率密度分

9、布曲线f(x)满足：,（1）对于所有误差x，f(x)0; （2）f(x)为偶函数； （3）x=0时，f(x)为最大值； （4）x 0时，f(x)单调减小； （5）f(x)曲线在误差x较小时呈上凸，x较大时呈下凹；,2.5.2 正态分布函数及其特征点 （略）,2020/7/11,15,自动检测技术及仪表控制系统,2.5.3置信区间与置信概率,置信区间：定义为随机变量的取值范围，用正态分布的标准误差的倍数来表示，即z ，z叫置信系数。 置信概率：随机变量在置信区间z 内取值的概率。,置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。,2020/7/11,16,自动检测技术及仪表控制系统,置信区间、置

10、信概率和 置信水平之间的关系如图所示。 置信水平越高，置信概率越小，误差范围越小，测量的精度要求越高，测量的可靠性越低。 实际测量中，置信概率95%可靠性就可以了。,2020/7/11,17,自动检测技术及仪表控制系统,2.6 误差传递法则,2.6.1 误差传递法则 当间接检测量Y与相互独立的直接检测量X1,X2,有如下的函数关系：,并且X1,X2,的标准方差分别为 ， ，时，如何求Y的标准方差 ？,求解过程由简单到一般分成了三种情况：,？,1、简易情况：,2020/7/11,18,自动检测技术及仪表控制系统,2、任意线性结合的情况：,3、一般情况：假设Y与n个独立测量的量有函数关系。,该式被

11、称为误差传递法则。,注意：尽管在间接检测函数中有差的结合方式，但求标准误差的公式中方差均为和的形式。,2020/7/11,19,自动检测技术及仪表控制系统,例1：一组测量值的算术平均值为 ，测量值之间相互独立，测量的标准误差同为 时，求其平均值的标准误差。,例题 1,解：,根据误差传递公式：,根据上式可知平均值的标准误差为 。这意味着多次测量时，取其平均值作为测量结果时，误差相对变小，可提高测量精度 倍。,2020/7/11,20,自动检测技术及仪表控制系统,例2：用弓高弦长法间接测量圆的大直径D，如图。已知s和d，利用公式 计算出D。求直径的标准误差D 。 S=500mm,s=0.05mm，

12、d=50mm,d =0.1mm，,例题 2,2020/7/11,21,自动检测技术及仪表控制系统,2.6.2 不等精度测量的加权 及其误差,（1）权重的大小：权重的大小是相对的，一般用方差的倒数的比值表示。若m组测量数据各自的方差分别为 则,若各种检测方法精度相同，但测量次数不同，可得：,权重权重衡量测量结果可靠程度。,（2）加权平均,2020/7/11,22,自动检测技术及仪表控制系统,解：,取p1=36, p2=9, p3=4,例：已知,求加权平均值和加权标准偏差。,例 题,2020/7/11,23,自动检测技术及仪表控制系统,2.8 粗大误差检验,检验原则：设置一定的置信概率，看这个可疑值的误差是否还在置信区间内，若不在，则应剔除。,简单检验方法：将可疑值之外的其它值求平均值 及平均残差 ，计算可疑值与 的残差 ，如果 ，则此可疑值应该剔除。,2020/7/11,24,自动检测技术及仪表控制系统,标准偏差。,值和,除，求剔除前后的平均,是否应该剔除。若要剔,，试判断可疑值,，,，,，,，,，,，,例：有一组测量数据,20,10,20,9,7,3,3,2,例 题,2020/7/11,25,自动检测