高中数学选修4-5第二章不等式

1、,1.理解和掌握比较法证明不等式的依据.(重点) 2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.(难点) 3.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用.(难点),作差比较法和作商比较法的实质分别是什么？ 提示：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数或式子与0的大小关系. 作商比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数或式子与1的大小关系.,作差法证明不等式的步骤 (1)作差：将不等式左右两边的式子看成一个整体进行作差. (2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等. (3)判号：根据已知条件与上述变形的结

2、果，判断不等式两边差的正负号. (4)结论：肯定不等式成立的结论.,作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.,作差比较法证明不等式,若差式的符号不能确定，且与某些字母的取值有关时，需对这些字母进行讨论.,【例1】已知a1,求证： 【审题指导】因不等

3、式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明.,【规范解答】,【变式训练】当p、q都为正数，且p+q=1时，试证明代数式(px+qy)2px2+qy2. 【解题提示】本题可直接利用作差法，但注意化简的过程中使用p+q=1这个条件.,【证明】(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy, p+q=1，p-1=-q,q-1=-p， 故(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy) =-pq(x-y)2 由于p、q为正数，故-pq(x-y)20 故(px+qy)2px2+qy2 当且仅当x=y时，不等式中等号成立.

4、,作商比较法证明不等式 作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商. (2)变形：化简商式到最简形式. (3)判断：判断商与1的大小关系也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论.,使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以-1转化后再进行证明.,【例2】已知a0且a1，0|loga(1+x)|. 【审题指导】由已知条件结合待证式的结构特点，可用作商比较法并运用换底公式证明.,【规范解答】 =|log(1+x)(1-x)|. 1+x1,01, log(1+x)(1-x2)1,即 |loga(1-x)|loga(1+x)

5、|.,【变式训练】已知a2,求证：loga(a-1)log(a+1)a. 【解题提示】,【证明】a2,a-11, loga(a-1)0,log(a+1)a0, 由于 a2,00,loga(a-1)log(a+1)a.,【例】已知a,b都是正实数，且ab,求证： 【审题指导】因所证不等式两端均大于零，且为分式，可采用作商比较法. 【规范解答】a,b都是正实数且ab,a+b0.,【变式备选】已知a,b都是正数，且ab,求证 【证明】 又a,b都是正数且ab,【典例】(12分)某人乘出租车从A地到B地，有两种方案.第一种方案：乘起步价为10元,每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，每千

6、米1.4元的出租车；按出租车管理条例，在起步价内,不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？ 【审题指导】分别表示出两种方案中从A地到B地费用的函数表达式,分情况比较大小并作出判断.,【规范解答】设A地到B地的距离为m千米.起步价内行驶的路程为a千米. 2分 显然当ma时，选起步价为8元的出租车比较合适. 4分 当ma时，设m=a+x(x0),乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元.乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x 8分,P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) 当x10时，P(x)

7、Q(x),此时选择起步价为8元的出租车较为合适. 10分 当x=10时，P(x)=Q(x),两种出租车任选，费用相同. 12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点?,【解析】设从出发地点至指定地点的路程是s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意，有 其中s,m,n都是正数，且mn,于是t1-t20,即t1t2. 从而知甲比乙先到达指定地点.,1.若a,bR,则下面四个式子中恒成立的是( ) (A)lg(1+a2)0 (C)a2+3ab2b2 (D)a2+b22(a-b-1) 【解析】选D.A中若a=0，则lg(1+a2)=0,B中若a=-1,b=-2, 则 C中若a=0,b=3,则a2+3ab2b2,D中a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,即D成立.,2.若a1,p=loga(a3+a2+1),q=loga(2a2+1),则p、q的大小关系为( ) (A)pq (B)p=q (C)pq (D)无法确定,【解析】选A.a1,p0,q0. (a3+a2+1)-(2a2+1)=a3-a2=a2(a-1) a1,a2