03_应力分析_@@1.ppt

1、哈工大 土木工程学院,1 / 93,土木工程学院 工程力学学科组,HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY,弹塑性力学,哈工大 土木工程学院,2 / 93,研究对象三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。,哈工大 土木工程学院,3 / 93,第1节 基本概念,1.1 外 力,1 外力(load)：导致物体产生变形的外界作用因素（热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用）称外力。我们讨论的外力是属于机械力的范筹。,面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压力

2、等，可以是集中力，也可以是分布力。用 F1， F2， Fn q 表示。单位：N 或 N/m2。 体力：作用在物体每个质点上的力，如重力、惯性力等。用容重fp表示。单位：N/m3。,哈工大 土木工程学院,4 / 93,2 内力(internal force)：物体内部抵抗外部机械作用而产生相互作用称内力。,固有内力物体各部分之间、材料各微粒之间的相互作用力。 物体在受到外力之前，内部就存在着固有内力。,附加内力由外力而引起的内力，在原有内力的基础上，又添 加了新的内力，与变形有关。,F1,Fi,Fn,fp,哈工大 土木工程学院,5 / 93,今后如无特别说明，就简称附加内力为内力。,研究一个物体

3、不同部分之间的内部相互作用，通常用“截面法”。其基本步骤：,截开； 代替； 平衡。,内力特点：,1、有限性：随外力的变化而变化，不能无限增加。,2、分布性：内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。,3、成对性：附加作用力和反作用力。,通常内力随着外力的增加而增加，但不能无限地增加，若超过一定的限度构件将被破坏。可见，附加内力与外力的关系及它的限度，在研究构件承载能力时，就显得很重要了。,哈工大 土木工程学院,6 / 93,3 应力(Stress)：受力物体内某截面上一点内力的内力分布疏密程度，即分布集度 。,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或

4、“失效”往往从内力集度最大处开始,平均应力：,全应力：,哈工大 土木工程学院,7 / 93,应力分解：,垂直于截面的应力称为“正应力”：,位于截面内的应力称为“剪应力”：,某截面（外法线方向）上的应力pn 称为全应力(stress) ，可分解为正应力(normal sress) n和剪应力(shear stress) n,哈工大 土木工程学院,8 / 93,特点：,必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。,应力是内力的集度； 内力和应力均为矢量； 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同； 应力

5、是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。,哈工大 土木工程学院,9 / 93,第2节 应力状态和应力张量,点的应力状态：是指通过变形体内某点的所有截面上的应力矢量的合集，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）,2.1 应力状态,哈工大 土木工程学院,10 / 93,描述空间一点处的应力的单元体,单元体的性质 a、任一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。,单元体：物体内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体。,哈工大 土木工程学院,11 / 93,单元体上的应力分量及应力正负值规定, 应力的表示及符号规

6、则,正应力：xx x 剪应力：xy xy 前字母表明该应力所在截面； 后字母表明该应力所指方向。,指定坐标轴正方向：x,y,z。 正面正向正；负面负向正。, 应力的正负号规定,哈工大 土木工程学院,12 / 93,2.2 应力张量,在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。,应力分量 x 、 y 、 z 、xy 、 yx 、 yz 、 zy 、 zx 、 xz满足上述性质，构成应力张量。,哈工大 土木工程学院,13 / 93,应力张量为二阶张量。,应力张量为对称张量。,一点的应力状态完全由应力张量确定。,应力分量是标量箭头仅是说明方向

7、。,应力张量的特点,哈工大 土木工程学院,14 / 93,第3节 应力状态分析,应力状态分析：讨论一点某截面方位改变引起的应力变化趋势的过程。一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析,斜截面上的应力,主应力,最大剪应力,应力状态对于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，合理的应力参数。,一点应力状态,用解析法研究,用几何法研究,解析理论,莫尔应力圆,哈工大 土木工程学院,15 / 93,3.1 平衡微分方程,如果物体整体满足平衡条件，则其内部任何部分必然也是满足平衡条件的，因此，可以取一个微元体分析。,应力平衡微分方程 就是物体任意无限相邻两点间应力关系，可以通过微体沿

8、坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达式。,哈工大 土木工程学院,16 / 93,要求应力至少一阶连续。,推导原理：,静力平衡条件：,泰勒级数展开：,静力矩平衡条件：,哈工大 土木工程学院,17 / 93,平衡方程的推导：,同理可推出另两个平衡微分方程。,张量形式为：,以x轴为投影轴，由 X=0 得：,哈工大 土木工程学院,18 / 93,以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程Mab=0 ：,略去微量并整理得：,剪应力互等定理,哈工大 土木工程学院,19 / 93,3.2 斜截面上应力状态,3.2.1 平面应力状态,一点应力状态的解析表示,正应力二

9、者定义没有差异 而切应力定义方向不同,弹性力学以坐标系定义应力分量,材力以变形效应定义应力分量,哈工大 土木工程学院,20 / 93,考虑剪应力互等和三角变换，得：,哈工大 土木工程学院,21 / 93,确定正应力和剪应力的极值,若 = 0时，能使, 0和 0 +90它们取得两个互相垂直的平面，称主平面，主平面上对应的极值应力称主应力。,则,哈工大 土木工程学院,22 / 93,用相似方法可确定剪应力的极值,若 = 1时,能使,1和 1 +90它们取得两个互相垂直的平面，分别作用着最大剪应力和最小剪应力。,则,哈工大 土木工程学院,23 / 93,由,得,即,即最大剪应力和最小剪应力所在平面与

10、主平面的夹角为45。,哈工大 土木工程学院,24 / 93,消去解析表达式中参数（2），得：,应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,一点应力状态的几何表示,哈工大 土木工程学院,25 / 93,建立应力坐标系O,应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，-yx),AB与s 轴的交点C 便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆 应力圆；,A(sx ,txy),B(sy ,-tyx),C,哈工大 土木工程学院,26 / 93,单元体与应力圆的对应关系, 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， ), 面的法线 应力圆的半径,两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。

11、,n,C,哈工大 土木工程学院,27 / 93,x,n,2,D( sa , ta),C,主应力和主方向 0,0,max,min,主应力方向与 x 轴夹角。,20,哈工大 土木工程学院,28 / 93,最大剪应力和作用方向1,x,21,C,max,min,最大剪应力方向与 x 轴夹角。,哈工大 土木工程学院,29 / 93,单向拉伸,纯剪切,单向压缩,典型应力状态的莫尔圆,哈工大 土木工程学院,30 / 93,3.2.2 空间应力状态,O,l = cos(N,x),m = cos(N,y),n = cos(N,z),SABC=S,SOBC= lS,SOAC= mS,SOAB= nS,哈工大 土木

12、工程学院,31 / 93,当斜面为边界时，就是应力边界条件。,l = cos(N,x),m = cos(N,y),n = cos(N,z),斜截面上全应力 = x 向应力 + y 向应力 + z 向应力,哈工大 土木工程学院,32 / 93,l = cos(N,x),m = cos(N,y),n = cos(N,z),斜截面上全应力 = 正应力 + 剪应力,哈工大 土木工程学院,33 / 93,面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。,在物体的任意一点，如果已知六个应力分量，就可以

13、求得任意斜面上的正应力和剪应力。即六个应力分量完全决定了一点的应力状态。,哈工大 土木工程学院,34 / 93,第4节 主应力与主方向,4.1 几个概念,主单元体：由主平面截取的单元体。,主平面： 剪应力为零的截面。,主应力： 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小 1 2 3,主方向： 主平面的法线方向。,理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。,哈工大 土木工程学院,35 / 93,在过任一点所作任意法线方向为N的平面上都有正应力和剪应力。如果在某一方向的平面上剪应力为零，则此方向称为主方向，而这时在该面上的正应力便称为主应力。

14、 主方向上的全应力等于该面上的正应力，也就等于主应力，于是该面上的全应力在坐标轴上的投影为：,于是，四面体分别在三个坐标轴方向列平衡方程：,4.2 主应力和主平面,哈工大 土木工程学院,36 / 93,由于三个方向的方向余弦不可能同时为零，关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即,主应力特征方程,哈工大 土木工程学院,37 / 93,哈工大 土木工程学院,38 / 93,一定存在三个根，设为1， 2， 3，称为该点主应力。则：,在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变，因而，特征方程中的系数必为常数，称为应力不变量。,哈工大 土木工程学

15、院,39 / 93,用张量形式表示应力张量不变量,应力张量主元之和,应力张量的主元余子式之和,应力张量元素的行列式值,第一应力张量不变量,第二应力张量不变量,第三应力张量不变量,哈工大 土木工程学院,40 / 93,不变性：主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关，因此特征方程的三个根是确定的。,实数性：特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。,正交性：任意一点三个应力主方向是相互垂直的（即三个应力主轴正交的）。,应力不变量性质：,坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。 应力不变量正是对应力状态性质的描述。,哈工大 土木工程学院,4

16、1 / 93,将特征方程求得的三个主应力 s1，s2，s3分别代入,可求应力主方向,讨论主应力相互位置关系：,哈工大 土木工程学院,42 / 93,将,分别乘以l2，m2，n2,分别乘以- l1,- m1,- n1,六式相加，整理可得：,哈工大 土木工程学院,43 / 93,同理可得,如果s1s2s3 则,说明3个应力主方向必相互垂直,哈工大 土木工程学院,44 / 93,s1 和s2 的方向可以垂直或不垂直。 s1 和s2 的方向必与s3 的方向垂直。,如果s1 = s2s3 则,哈工大 土木工程学院,45 / 93,任何方向都是应力主方向。,如果s1 = s2 = s3 则,哈工大 土木工

17、程学院,46 / 93,主应力正交性结论：,1.若1 2 3 ，特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直； 2.若1= 2 3 ，特征方程有两重根； 1 和2 的方向必然垂直于3 的方向。而1 和2 的方向可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若1= 2 = 3 ，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。,哈工大 土木工程学院,47 / 93,第5节 空间应力状态几何表示,如选择主应力方向为坐标轴方向，则：,哈工大 土木工程学院,48 / 93,椭球面方程，其主半轴的长度分别等于1、2、3。这个椭球面称为应力椭球面。,对于一个确定的应力状态，任意斜截面上全应力

18、矢量 S 的端点必然在椭球面上。,哈工大 土木工程学院,49 / 93,主应力图,单向应力状态,平面应力状态,三向应力状态,只用主应力的个数（不表明大小）及正负号来描述一点应力状态的简图称主应力图。,常常根据三个主应力的特点来区分各种应力状态。,哈工大 土木工程学院,50 / 93,所以分母：,或改写成：,假设：1 2 3,哈工大 土木工程学院,51 / 93,同理：,哈工大 土木工程学院,52 / 93,以任意斜截面上主应力和剪应力建立坐标系。,在NN平面上以P1(1,0)， P2(2,0)， P3(3,0)三点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆。,O1：l=0，m，n 变化（,）

19、轨迹 O2：m=0，l，n 变化（,）轨迹 O3：n=0，m，l 变化（,）轨迹,哈工大 土木工程学院,53 / 93,任意斜截面上的应力必由处于以三个圆周为界的阴影区中的某一点应力表示。,哈工大 土木工程学院,54 / 93,由于3的存在并不影响1 2平面内的平衡条件，因此，以12为直径的Mohr圆上各点代表了单元体上所有与3与平行的各斜截面上的应力。（同理解释另两个圆）,哈工大 土木工程学院,55 / 93,最大剪应力,斜截面上的剪应力随斜截面的方位而改变。剪应力达到极值的平面称为主剪应力平面，对应的剪应力称为主剪应力。,当 时，截面剪力达极值,哈工大 土木工程学院,56 / 93,1,2

20、,3,最大剪应力,哈工大 土木工程学院,57 / 93,主剪应力平面上的正应力和主剪应力值，即,三组主剪应力平面分别与一个主平面垂直，与另外两个主平面交成 45角。,哈工大 土木工程学院,58 / 93,哈工大 土木工程学院,59 / 93,（1）用主应力表示截面的正应力有：,考虑到,得到,求驻值,有,得到,同样得到,和,【结论】 1、2和3是正应力的驻值且是主应力（剪应力0）；它们作用在主平面上（垂直于主平面）；按大小顺序排列。,求主应力和主剪应力的另一方法,哈工大 土木工程学院,60 / 93,(2) 用主应力表示截面上的剪应力,求驻值：,哈工大 土木工程学院,61 / 93,讨论：假定,

21、A）,得,B）,得,C）,得,同样得到,【结论】 剪应力驻值发生在主平面平分角的平面上或主平面上；主剪应力为 (ij=| i j |/2)；主剪应力平面并不一定就是纯剪平面；主剪应力亦按顺序排列。,哈工大 土木工程学院,62 / 93,【例题】已知某点的应力状态为：,求：主应力和最大剪应力。,解：,哈工大 土木工程学院,63 / 93,【例题】已知某点的应力状态为：,求：作用于过该点，方程为 的平面外 侧的正应力和剪应力。,解：,哈工大 土木工程学院,64 / 93,哈工大 土木工程学院,65 / 93,【定义】在 坐标系中，假设在 点的应力状态为 ，如果找到某一坐标系 ，使得 ，则定义为 点

22、的应力状态为纯剪切状态。,一个应力状态成为纯剪切状态的充分必要条件是,第6节 纯剪切状态,必要性证明由定义出发即可得 I1=ii=0,充分性利用连续性论据证明：1=0 2=0 3=0,哈工大 土木工程学院,66 / 93,为使I1=0，必有正应力中的一个分量与另两个分量反向；,假定为x、y正，则z必为负；,固定x轴，绕x轴旋转，必会找到一个平面，其上正应力为零，设其法线方向为2， 2 0；,哈工大 土木工程学院,67 / 93,由 I1=x+ s +2 = 0,x与3正必反向,固定2轴，绕2轴旋转，必会找到一个平面，其上正应力为零，设其法线方向为3， 3 = 0 ；,x+ s = 0,所以有

23、3 = 0 ；,哈工大 土木工程学院,68 / 93,第7节 应力球张量和应力偏张量,7.1 应力张量的分解,定义平均应力：,平均应力m对应于静水应力状态，它表示任意一个面都是主平面；主应力值都相等；在应力圆上是一个点；静水应力张量是各向同性张量；与所取的坐标无关，即对于一个确定的应力状态，它为单值。,哈工大 土木工程学院,69 / 93,应力偏张量,应力球张量,应力张量可以分解为两部分，一部分是应力球张量(Spherical stress tensor)或静水应力张量，另一部分是应力偏张量(Deviatoric stress tensor) 。,应力球张量只改变单元体体积，由平均正应力组成的

24、，任何方向都是主方向，且主应力相同,应力偏张量只改变单元体形状，主轴方向与原应力张量方向相同,哈工大 土木工程学院,70 / 93,应力张量,应力球张量,应力偏张量,应力偏张量是一个纯剪状态(纯剪状态的充分必要条件是ii0 )。现在证明应力偏张量 sii=0 那么偏应力张量就是纯剪状态。,【证明】根据,哈工大 土木工程学院,71 / 93,sij的主方向,* 显然，在所有方向上减去一个常数正应力不会改变其方向，所以应力偏张量与原应力张量的方向一致。,* 应力偏张量也具有不变量：,特征方程为,即,哈工大 土木工程学院,72 / 93,I2=,哈工大 土木工程学院,73 / 93,应力偏张量与应力

25、张量的关系：,表明应力偏张量已不含平均应力成分；,与屈服准则有关,反映了变形的类型： 0表示广义拉伸变形， 0表示广义剪切变形，0表示广义压缩变形。,哈工大 土木工程学院,74 / 93,第8节 八面体应力,等斜面上的应力,平面法向的方向余弦：,满足上式的平面共8个，构成一个正八面体。,在主应力空间中，每一卦限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个卦限共有八组，构成正八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。,哈工大 土木工程学院,75 / 93,八面体面上总应力,八面体面上正应力,八面体面上剪应力,八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。,哈工大 土木工程学院,76 / 9

26、3,简单拉伸时：,等效应力,所以：,如果假定I2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么对一般应力状态可以定义等效正应力：,为了使不同应力状态具有可比性，定义等效应力（Effective stress ），也称相当应力。,哈工大 土木工程学院,77 / 93,在纯剪切时：,所以：,在I2相等的意义下定义等效剪应力：,哈工大 土木工程学院,78 / 93,至此引进了三个与 成正比的量 ，其关系为;,从而可以把复杂应力等效的单向应力状态，进而有可能对不同应力状态的强度作出定量的描述和比较。,哈工大 土木工程学院,79 / 93,等效应力具有以下特点：,与空间坐标轴选取无关； 与应力球张量无关； 主应

27、力 j 全反号时，等效应力值不变； 等效应力值标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应力）状态的距离的大小； 等效应力是材料力学中第四强度理论的相当应力，在塑性力学中称应力强度。,哈工大 土木工程学院,80 / 93,讨论：,1 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。,哈工大 土木工程学院,81 / 93,在 平面上以P1(1,0)， P2(2,0)， P3(3,0)三

28、点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆。,第9节 应力圆与Lode参数,在1 2 3假设下三向应力圆中考察2的影响：,哈工大 土木工程学院,82 / 93,当 P2由 P3移向 P1时 在的变化范围： 1 1, 只是由P3、P2、P1时三点位置决定而与 坐标原点的选择无关的量值，所以是一个描述应力偏张量的特征值。,Lode参数 的几何意义是表明应力摩尔圆中三圆的比例关系。,哈工大 土木工程学院,83 / 93,对某一应力状态叠加一个附加的各向均匀的应力状态时，应力圆的直径并不改变（即应力圆本身的图形与应力球张量无关，只是应力圆作一个平移）,哈工大 土木工程学院,84 / 93,若平移距离m，则移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏张量的三向Mohr圆。,对于一点的应力状态，各个主应力按同一比例缩小或增大，则应力变化前后的应