第一章 预备知识（高效培优单元测试-强化卷）-北师大版高中数学必修第一册（解析版）

第一章预备知识（高效培优单元测试•强化卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共58分）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。）

1.已知集合人={-1,123},8=30<xve},则（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,2}D.{T1,2}

【答案】C

【解析】A={-1,1,2,3},B={AjO<x<e},所以ADB={1,2}.

故选：C.

2.下列语句不是全称量词命题的是（）

A.任何一个实数乘以零都等于零B.素数都是奇数

C.高一（I）班绝大多数同学是团员D.凡是过去，皆为序章

【答案】C

【分析】由全称命题的定义，全称命题为含有全称展词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答

案.

【解析】命题“任意一个实数乘以零都等于零"，含有全称量词，故A是全称量词命题；

B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题;

C中命题可改写为：高一（1）班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题；

D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题.

故选：C.

3.不等式的解集是（）

x+1

7

A.x—<x<-\­B.{Mx<-2}C.x--<x<-]D.{.dx>-l}

2

【答案】C

【分析】解分式不等式，首先移顶，通分，整理为一2r■+7《（），再转化为二次不等式，即可求解.

x+\

【解析】由原不等式可得3—=«0o生?40,即[（2X+7）,?）〈0,解得一建X<一],

x+1x+1X+1W02

7

故原不等式的解集为

故选：C.

4.已知集合4={2.9}.4={病.2}.若人二乩则实数〃?的值为（）

A.3B.2C.±72D.±3

【答案】D

【分析】由集合相等得加=9,解方程即可求解.

【解析】因为集合人={2,9},4=k/2},且A=8,所以渥=9,解得〃?=±3.

故选：D

5.已知〃、Z?eR,则"曲>""是的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

【答案】B

【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可.

【解析】当。=一2/=一1时，满足曲但av/?<0,

所以由ab>b2不能得到a>b>0.

当〃>。>0时，由不等式的基本性质得">从，

所以由a>b>0能推IIIab>b2.

所以“"〉从"是的必要不充分条件.

故选:B.

6.已知-3Wa+H-2,IWaM",则％+b的取值范围是（）

A.[—3,0]B.[—5,3]C.1-5,0]D.[—2,5]

【答案】C

【分析】根据不等式的性质求解.

【解析】因为3。+人=2（〃+勿+（4—份，又一3<。+〃《—2,\<a-b<4,所以3〃+人的取值范闱是[一5,0].

故选：C.

7.已知若^+丁也之1，亘成立，则实数〃的取值范围为（）

a1-a

I、

A.二，+8B.；司C.I（）lD.（0,4]

[4；

【答案】A

【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果

【解析】因为Ovavl,所以。十321恒成立等价」“2。（1一。）恒成立，

a\-a

又〃"Fj=}.当且仅当时取等号，

故，4

4

故选：A

8.某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A项公益活动的有28人，参加B项公益活

动的有33人，且A,A两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A项

不参加8项的有（）

A.7人B.8人C.9人D.10人

【答案】D

【分析】设A,B两项公益活动葫参加的有X人，得出仅参加A,B项和两项公益活动都不参加的人数，

列出方程，即可求解.

【解析】如图所示，设A,8两项公益活动都参加的有工人，

贝丁仅参力口A项的有（28一八）人，仅参力口3项的有（33—入）人，

A,8两项公益活动都不参加的有人，

由题意得X+（28-X）+（33—X）+（；X+I）=50,解得X=18,

所以只参加A项不参加8项的有28-18=10人）.

故选D.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.下列说法正确的有（）

A.某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合

B.集合人=｛1），=9+1｝与集合8=｛（乂），）卜，=/+1｝是相同的集合

C.由1,m，;，-3,0.5这些数组成的集合有4个元素

D.在平面直角坐标系中，第【I象限或第IV象限内所有的点（乂），）组成的点集，可以表示成集合

（（x,y）l^<0,x,yeR）

【答案】CD

【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选

项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出工和丁异号.

【解析】对于选项A,视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错

误，

对于选项B,其中集合力=｛Xy=V+i｝是数集，集合8=｛（x,y）|y=Y+i｝是点集，

所以集合人=｛1丁=/+1｝与集合8=｛（乂），）"=/+1｝不是同一集合，故选项B错误，

对于选项C,因为U=0.5,由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确，

对于选项D,因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即孙<0,

所以第II象限或第IV象限内所有的点（x,y）组成的点集，可以表示成集合｛（%刈邛vOdywR｝,故选D

正确，

故选：CD.

10.使不等式2h2+依-?<0对一切实数X都成立的一个充分条件是（）

O

A.A:=0B.A=1C.A:=—1D.-3<k<0

【答案】ACD

【分析】先求出不等式2米2+3-?<0对一切实数工都成立时％的取值范围，然后再看各个选项是否在这个

O

取值范围内.

3

【解析】当左=0时，此时不等式变为-?<0,这个不等式对于一切实数x恒成立.

O

3

当上工。时，不等式2履2+依-?<0是一个二次不等式，要使其对一切实数X都成立，则二次函数

O

），=2"的图象需开I」向卜.，且与X轴无交点.开||向卜•：二次项系数2Z0,即ho.与X轴无交

O

点：判别式△=公一4、2攵*（一：）<0.此种情况，解得_34<0.

O

综合两种情况

不等式2kx2+kx-^<0对•切实数x都成立时k的取值范围是-3«VO.

O

分析各个选项：

A选项：2=0满足-34<0,所以&=0是不等式成立的一个充分条件.

B选项：&=1不满足-3440,所以k=1不是不等式成立的充分条件.

C选项：攵=-1满足-34W0,所以左二-1是不等式成立的一个充分条件.

D选项：-34<0满足-3440,所以-3<4〈0是不等式成立的一个充分条件.

故过：ACD.

11.若孙）'满足f+>'2一外=1,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.孙>1

【答案】BC

【分析】利用基本不等式和重要不等式逐个计算判断即可.

【解析】因为访4史辿［工此互（a,〃eR）,

I2）2

所以Y+y2一盯=［可变形为，（x+y1_］=3孙K3”!刃，

解得-2Kx+yK2,

当且仅当>=>=_1H寸，x+y=-2,

当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由一+炉一与,=1可变形为（/+y）-1=孙V，,

解得丁+y242,当且仅当x=），=±l时取等号，所以C正确;

由/+/一冲=］可变形为/+/=（），+］22孙，所以孙W1,所以D错误.

故选：BC.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.（2025•江西•模拟预测）已知集合4={削工=2",〃€2},4={123,4},则的真子集个数

为•

【答案】7

【分析】由交集的运算可得AC|8={1,2,4},即可得到结果.

【解析】对于集合A={Mx=2","eZ},当〃=0是，x=l,当〃=1时，x=2,

当〃=2时，x=4,所以4。8={1,2,4},

则其真子集的个数为23-1=7.

13.若关于1的不等式尔2-尔-1<0的解集是R,则实数，〃的取值范围是—

【答案】-4</w<0

【解析】当〃7=0时，原不等式为TvO,符合题意：当机工0时，要使关于x的不等式尔2-心-1<0的解

集为R,只需，：<°’24c解得-4vmv0.综上，-4<m<0.

△-m+4m<0.

14.若两个正实数x,y满足,+曰=2,且不等式工十二<〃?2—〃?有解，则实数/〃的取值范围

xy4x

是.

【答案】（-8,7）52,+oo）

【解析】由于1+1=；，：+4］［，+t］=:〔2+6十年］之；（2+2俱百］=2,当且仅当

4K2（4x）\xy）214xyJ2（y4x-y~

工=&¥=1,即x=l,y=2时取等号，而不等式x有解，所以加一机>2,即

4T厂4x

（m-2）（m+l）>0,解得〃z<-1或成>2.

三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.

⑴由大于-3且小于9的偶数组成的集合；

⑵所有被5除余2的整数所构成的集合；

⑶平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合；

【解析】（1）{-2,0,2,4,6,8},有限集.（5分）

（2）A={x|x=5A+2,AwZ},无限集.（10分）

（3）A={（x,y）|x>0,y<0,xeR,yeR},无限集.（15分）

16.（15分）

已知命题P：VxGR»ax2+av+1>0;命题9：3—1<x<1>a<0.

⑴若〃为真命题，求实数。的取值范围；

⑵若P,夕中有且仅有一个为真命题，求实数。的取值范围.

【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立，分。=。，4工。分类求解.

（2）由存在量词命题真求出命题“，再利用两个命题一真一假求出范围.

【解析】（1）VXGR,加+以+1>0,而"0；

〃>0

则j<0，（4分）

解得0<。<4,

所以实数〃的取值范围是（0,4）.（7分）

（2）3-1<X<1,2x+a<0<=>a<-2x,Hij-2<-2x<2,因止匕a<2,（10分）

即命题4：a<2,由（1）知，命题P：0<a<4,

由P,4中有且仅有一个为真命题，得〃真4假或〃假4真，（12分）

若P真4假，则2<。<4；若P假9真，则

所以实数。的取值范围是（-。,0卜［2,4）.（15分）

17.（15分）

某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本），（万元）与年产量x（吨）之间的关系

式为、，=（*+3000,且当年产曷是100吨时，总成本为6000万元.平均成本二号成彳:.

总产里

⑴求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；

⑵若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多

少吨？（利润=销售额•成本）

【分析】（1）由题意可知，当x=100时，产6000,由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可；

（2）由题意可知，年利润乙=—2/+90.丫—3000,^-—J2+90X-3000>3000,求出大的取值范围即

1010

可.

【解析】（1）当年产量是100吨时，总成本为6000万元，

3

所以6OOO=axlOO2+3OOO，解得□=«，

所以丁=6产+3000/>0，

3,

所以生产每吨产品的平均成本为「_而月+300°_343000>,l3x3000（6分）

——-----------=—十-----WJ/-----=OU

xX10XVioJC

当且仅当工=磔，即x=100,

10x

所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元.（8分）

（2）由题意可知，年利润乙=901-¥=90刀一（5/+300（））=-噂/+904一300。，

x2+90x-3000>3000,-300x+20000<0,（12分）

解得：1004x4200,

所以该生产线年产量的最小值应为100吨.（15分）

18.（17分）

已知集合A={WL1<X<3-2〃},5=1X|X2-2X-8<0}.

⑴若。=0,求AcB;

（2）若AUA=A，求实数〃的取值范围：

⑶若xe4是犬€A的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【分析】（1）利用交集运算即可；

（2）利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；

（3）把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.

【解析】⑴当4=0时，A={A|-I<A-<3},5={^|X2-2X-8<0}={X|-2<X<4）,

所以4nB={x|TWxW3}.（4分）

（2）因为A=W〃-1WxW3-2n},8={目-2Wx«4},

所以由AU3=8,得AqB,（6分）

4

①当A=0时，a-l>3-2</,解得满足题意；（8分）

a-1<3-2a

i4

②当时，则,a—\>—2,解得—<a<—,

23

3-2a<4

综上，a>~,故实数4的取值范围为-；，+8).(12分)

(3)由xwB是xwA的充分不必要条件，可得,

XA={x|«-l<x<3-2tz},8=何-2"«4},

a-\<3-2a®

则・。一1«-2②,且②③式等号不同时成立，解得。工一1,

3-2〃24③

故实数〃的取值范围是(f-1].分)

19.117分)

已知函数y=cix'+bx+c.

2

(1)关于x的不等式加+Ux+c<0的解集为向-1。<3},求关于方的不等式反2-a(e-2)x-3a>0的解集;

⑵已知4>0力>0,当x=2时，y=2ab+c,

①若存在正实数。，b,使不等式/+3]-〃-专>0有解，求/的取值范围；

4b16aM日t竹

②求;--+一；的最小值.

b-2a-1

【分析】(1)由根与系数的关系求出〃,b,c关系，代入所求不等式，分类讨论解集；

(2)由条件得一+：=】，再利用基本不等式求解问题.

ab

【解析】(1)因为关于x的不等式加+加+c<0的解集为

a>0,八

£7>0

所以，-1+3=—,即<〃=—2d,(3分)

a

c=-3a

-1x3=-,

a

所以不等式力『一a(c-2)x-3/20可转化为一2。小一a(-3a-2)x-3a2>0,

又〃>0,所以2/—(3i+2)x+3aW0,B|J(2x-3a