2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：12.5导数的应用(第3课时)

1、第十二章 极限与导数,导数的应用,第 讲,5,（第三课时）,题型6 利用导数证明不等式,1. 证明：对任意的正整数n， 不等式 都成立. 证明：令函数f(x)=x3-x2+ln(x+1)， 则 . 所以当x0，+)时，f (x)0， 所以函数f(x)在0，+)上单调递增. 又f(0)=0，,所以，当x(0，+)时，恒有 f(x)f(0)=0，即x3x2-ln(x+1)恒成立. 故当x(0，+)时，有ln(x+1)x2-x3. 对任意正整数n，取 (0，+)， 则有 ，所以结论成立. 点评：利用导数证明不等式，一般是先根据不等式的形式构造相对应的函数，然后利用导数讨论此函数的单调性或最值，进一步

2、得到所需结论.,题型7 利用导数解决方程根的问题,2. 设函数f(x)=x-ln(x+m)，其中m为常数. 求证:当m1时，方程f(x)=0在区间 e-m-m，e2m-m内有两个不等实根. 证明：当m1时，f(1-m)=1-m0， f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m0， f(e2m-m)=e2m-m-lne2m=e2m-3m.,令g(m)=e2m-3m(m1)， 则g(m)=2e2m-30. 所以g(m)在(1，+)上为增函数， 从而g(m)g(1)=e2-30，即f(e2m-m)0. 所以f(e-m-m)f(1-m)0，f(e2m-m)f(1-m)0. 因为f(x)

3、为连续函数，所以存在 x1(e-m-m，1-m)，x2(1-m，e2m-m)， 使f(x1)=0，f(x2)=0. 故方程f(x)=0在区间e-m-m，e2m-m 内有两个不等实根.,点评：方程根的问题，一是可以转化为函数图象的交点问题，通过导数研究函数图象的性质，再结合图象的性质观察交点情况，由图象直观地得出相应的结论；二是利用性质f(a)f(b)0(ab，且f(x)在区间(a，b)上是连续函数)，则方程f(x)=0在(a，b)上至少有一个根.,已知函数f(x)=lnx，g(x)=x.若关于x的方程 g(x2)-f(1+x2)=k有四个不同的实根， 求实数k的取值范围. 解：令 则 由(x)

4、0，得x(x+1)(x-1)0， 所以-1x0或x1. 由(x)0，得x-1或0 x1.,所以(x)在(-，-1)，(0，1)上是减函数， 在(-1，0)，(1，+)上是增函数.从而(0)=0为(x)的极大值，(-1)=(1)= -ln2为(x)的极小值且(x)为偶函数. 由此可得函数y=(x) 的草图如右. 若方程(x)=k 有四个不同的实根，则直线y=k与曲线y=(x)有四个不同的公共点.由图知，实数k的取值范围是( -ln2，0).,3. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量

5、为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值Q(a).,题型8 利用导数解决实际问题,解：(1)分公司一年的利润 L(x)(万元)与售价x(元)的函数关系式为 L(x)=(x-3-a)(12-x)2, x9,11. (2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L(x)=0,得x=6+ a或x=12 (不合题意，舍去). 因为3a5,所以86+ a . 在x=6+ a两侧L(x)的值由正变负，

6、所以，当86+ a9，即3a 时，,L(x)max=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)； 当96+ a ，即 a5时， L(x)max=L(6+ a) =(6+ a-3-a)12-(6+ a)2=4(3- a)3. 9(6-a) (3a ) 4(3- a)3 ( a5).,所以Q(a)=,答：若3a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L(x)最大，最大值Q(a)=9(6-a)万元； 若 a5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L(x)最大，最大值Q(a)=4(3- a)3万元. 点评：涉及实际问题的最值问题，一般是利用函数知识来解决，即先建立函数关系，把实

7、际问题转化为数学问题，然后利用求函数最值的方法求得最值.注意求得的解要符合实际意义.,已知函数 (a，b为常数)的图象在点A(1，f(1)处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动)，经过点A时，从l的一侧进入另一侧，求实数a的值. 解：因为f (x)=x2+ax+b， 所以f (1)=1+a+b.又,题型 利用导数处理图象位置关系问题,所以直线l的方程为 因为切线l在点A处穿过y=f(x)的图象，,所以g(x)在x=1两边附近的函数值异号， 从而x=1不是g(x)的极值点. 因为g(x)=x2+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)， 故

8、若1-a-1， 则x=1和x=-a-1都是g(x)的极值点， 不合题意，所以-a-1=1，即a=-2.,1.利用导数确定函数的单调区间，求函数的极值和最值，是导数应用中的三类基本问题.对变通后的变式问题或综合性问题，都要化归为上述基本问题来解决.导数的应用与方程、不等式等方面的知识联系密切，对运算、变形能力有较高的要求. 2. 利用导数处理不等式问题，关键是构造函数，然后将问题转化为研究函数的单调性或最值，这是导数应用中的一个难点.,3.对于方程有解的条件分析，讨论根的个数，确定根的范围等问题，一般转化为研究函数图象的公共点问题.以导数为工具，先分析函数的基本性质，再研究图象，是一种有效的办法. 4.解函数的最值的实际问题，首先把各变量用各字母分别表示出来，然后分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数