2011届高三数学新人教A版创新设计一轮复习课件：2.10函数模型及其应用

1、1. 了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.,【考纲下载】,第10讲 函数模型及其应用,1几种常见的函数模型,(1)一次函数模型ykxb(k0)； (2)反比例函数模型y (k0)； (3)二次函数模型y bxc(a0)； (4)指数函数模型y ； (5)yx 型； (6)分段函数模型,(1)阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本 质，弄清题目中出现的量的数学含义 (2)分析建模：分析题目中量与量

2、之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常 量和变量)，有时可借助列表和画图等手段理顺数量关系，同时要注意由已知条 件联想熟知的函数模型，以确定函数的种类，再在对已知条件和目标变量进行 综合分析在归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题 (3)数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳的解题方案，进行数学上的求解和计算 (4)还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答,2解决函数应用题的步骤,提示：(1)在解题时，有些函数的性质并不是明显的，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法 (2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清参数的取

3、值范围 (3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题,1某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一次分裂成2个)， 经过3小时，这种细菌由1个繁殖成() A211个 B512个 C1 023个 D1 024个 解析：每分裂一次，细菌个数是原来的2倍故3小时后细菌个数是 1 512个 答案：B,2用长度为24的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积 最大，则隔墙的长度为() A3 B4 C6 D12 解析：设隔墙的长为x(0x6)，矩形面积为y，yx 2 x(6x)， 当x3时，y最大 答案：A,3一

4、批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%， 则n年后这批设备的价值为() Ana(1b%) Ba(1nb%) Ca1(b%)n Da(1b%)n 答案：D,4将进货单价为8元的商品按10元一个销价时，每天可卖出100个， 若此商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获取 最大利润，此商品的销售单价应定为_元 解析：设售价涨x元，则日销售量为10010 x个， 则利润y(10 x8)(10010 x) 10(x28x20)10(x4)236 当x4时，销售利润最大，此时单价为14元 答案：14,二次函数是我们比较熟悉的基本函数建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际

5、中的最优化问题，值得注意的是：要分析自变量的取值范围和二次函数图象对称轴的位置,【例1】 杭州某房地产公司要在西湖边的空地ABCDE(如下图所示)上划 出一块长方形地面建一公寓，且所划长方形的一条边在ED上， 其中ED100，EA60，BC70，DC80.问：如何设计才 能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(单位：m),解：如题图，设FMx(0 x30)， 因为AGB与BFM相似， 所以 得BF x， S(70 x)(80 x) x2 x5 600. 当x25时， Smax ，此时MB， 所以当长方形顶点M在AB边上距B为 m时，面积最大为 m 2.,变式1：某出租车租赁公司拥有汽车100辆，

6、当每辆车的月租金为3 000 元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出 的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元， 未租出的车每辆每月需要维护费50元 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少？,解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为12， 所以这时租出了88辆车 (2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为 f(x) 整理得f(x) 162x21 000 (x4 050) 2 307 050. 所以，当x4 050时，f(x)最大，最大值为f(

7、4 050)307 050元即当每辆车的月 租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.,1. 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型 2分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值,【例2】 电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案， 这两种方案的应付电话费y(元)与 通话时间x(分钟)之间的关系如下图所示(实线部分)， (注：图中MNCD),试问： (1)若通话时间为2小时，按方案

8、A、B各付话费多少元？ (2)方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？ 思维点拨：由图建立付话费的两种方案的分段函数解析式,解：由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MNCD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为 fA(x)、fB (x)，则fA (x)= fB (x)= (1)通话2小时，即x=120时，fA (120)=116，fB (120)=168. 所以A、B两种方案的应付话费分别为116元、168元,(2)方案B从500分钟后，每分钟收费就是fB (n+1)- fB (n)(n50

9、0，nN*)， 因为fB(n+1)- fB (n)= (n+1)+18- n-18= =0.3. 所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元 (3)由图可知，当0500时，fA(x)fB(x)； 当60fB(x)，得x . 所以当通话时间在 时，方案B比方案A优惠,变式2：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时， 每吨1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元， 某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用用水量 分别为5x,3x(吨) (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的 用水量和水费,解：(1)当0 x

10、 时，y(5x3x)1.8014.4x， 当 x 时，y(43x)1.80(5x4)3.0020.4x4.8，当x 时， y(44)1.80(5x4)(3x4)3.0024x9.6 因此 (2)当x 时，y22.4，因此由24x9.626.4，解得x1.5，因此甲、乙两户 该月的用水量分别是7.5吨、4.5吨；甲、乙两户该月应交水费分别为17.7元、8.7元.,函数yx (a0 )常称为“对勾”函数，解决“对勾”函数问题通常利用基本不等式，但要注意等号成立的条件，当等号不成立时，常利用函数的单调性解决,【例3】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内， 沿左、右两侧与后

11、侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽 的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？ 最大面积是多少？ 思维点拨：依题意义建立函数模型yx (a0)后，利用不等式或 函数的单调性求其最值,解：设温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m. 蔬菜种植面积 y(x4) 8082 (4x400)， x 2 80， y808280648 (m2) 当且仅当x ，即x40， 此时20 m，y最大648(m2) 当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大， 为648 m2.,变式3：某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为 矩形

12、，面积为126 m2的厂房，工程条件是：建1 m新墙的费用为a元； 修1 m旧墙费用是 元；拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的 费用为 元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(x14)为矩 形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x14，问如何利用 旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？,解：(1)利用旧墙的一段x m(x14)为矩形一面边长，则修旧墙的费用x 元，将 剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x) 元，其余建新墙的 费用为 元 故总费用为 当且仅当 ，即x12 m时，ymin35a.,(2)若利用旧墙的一面矩形边长x14

13、，则修旧墙的费用为 元， 建新墙的费用为 元， 故总费用为 设14x1x2则 (x1x2).,14x1126. 从而 0， 函数yx在14，)上为增函数 故当x14时，ymin 35.5a. 综上讨论知，采用第(1)方案，利用旧墙12 m为矩形的一面边长时， 建墙总费用最省，为35a元.,【方法规律】,1理解函数思想及函数与方程思想的实质，强化应用意识 2通过解决函数应用题提高学生的阅读理解能力，抽象转化能力和解答实际问题的能力 3解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量

14、设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解.,(2009湖北卷)(本小题满分12分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元) (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用,【高考真题】,解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m， 1分 则y45x180(x2)1802a225x360a360. 4分 由已知xa360，得a， 所以y225x360(x0). 6分,(2)x0，225x2 10800. y225x36010440. 当且仅当225x时，等号成立 即当x24 m时，修建围墙的总费用最小， 最小总费用是10440元. 12分,【规范解答】,本题主要考查函数和不等式的应用问题考题的命制，借助具体的情境，即修建矩形的场地围墙的实际问题，将总费用与旧墙的长度这两个量联系起来，建立起一个函数关系，这就和第(2)