2014-2015年高中数学选修2-1-22.2.1.ppt

1、2.2椭圆 2.2.1椭圆及其标准方程,1.椭圆的定义 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_(大于 |F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2. (3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_(常数)且2a_|F1F2|.,常数,2a,2.椭圆的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2=b2+c2,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.() (2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.() (3)椭圆

2、的特殊形式是圆.(),【解析】(1)正确.无论在哪种标准方程中,一定都有a2=b2+c2. (2)错误.只有常数大于|F1F2|时,点的集合才是椭圆. (3)错误.椭圆与圆的概念不同,没有特殊情况. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为 . (2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为 . (3)椭圆的方程为 则a=,b=, c=.,【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16, 所以椭圆的方程为 答案： (2)由4x2+9y2=1，得 所以 所以焦点坐标为 答案：,(3)由 所以a2=9,b2=4

3、,c2=5. 所以a=3,b=2,c= 答案：3 2,【要点探究】 知识点 1 椭圆的定义 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.,2.椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆. (2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.,【知识拓展】椭圆的焦点三角形 设M为椭圆 上任意一点 (不在x轴上).F1,F2为焦点，则 MF1F2为椭

4、圆的焦点三角形.,【微思考】 在椭圆的定义中,动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a)且2a|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a|F1F2|,则M的轨迹是什么? 提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a|F1F2|时,点M的轨迹不存在.,【即时练】 1.椭圆 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上， 若|PF1|=4，则|PF2|=_. 2.已知椭圆 的两焦点为F1,F2，弦AB过点F1,则 ABF2的周长为_.,【解析】1.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6, 所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2. 答案:2 2.由椭

5、圆的定义知2a=10, ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20. 答案:20,知识点 2 椭圆的标准方程 对椭圆标准方程的三点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或 y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1，左边是关于 的 平方和，并且分母为不相等的正值.,(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中, a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一 半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都是正数) 恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以ab,ac,且a2=b2+c2.(如图所示),【

6、微思考】 (1)在椭圆的标准方程中abc一定成立吗? 提示:不一定,只要ab,ac即可,b,c大小关系不定. (2)根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.,【即时练】 椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为,焦距为_. 【解析】把方程化为标准式: 可知焦点在y轴上, 则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9, 则c=3,所以焦点为(0,3),焦距为2c=6. 答案:(0,3)6,【题型示范】 类型一 求椭圆的标准方程 【典例1】 (1)(2014邵阳高二检测)过点(-3，2)且与 有相同 焦点的椭圆的方程是( ),

7、(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5，0). 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0). 经过点 和点,【解题探究】1.题(1)焦点在哪个轴上？ 2.题焦点在x轴上的椭圆的标准方程是怎样的？ 题焦点在y轴上的椭圆的标准方程是怎样的？ 题焦点位置不确定，椭圆的标准方程应如何求？,【探究提示】1.椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母较大. 2. (ab0); (ab0)； 应分焦点在x轴上，y轴上两种情况讨论求解.,【自主解答】(1)选A.由方程 可知，其焦点的坐标为 即 设所求椭圆方程为 (ab0). 因为过点(

8、-3，2)，代入方程为 解得a2=15(a2=3 舍去). 故方程为,(2)由于椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为 (ab0). 因为 所以a=5. 又c=4，所以b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为,由于椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为 (ab0). 由于椭圆经过点(0,2)和(1，0), 所以 故所求椭圆的标准方程为,方法一：当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为 (ab0). 依题意有 解得 故所求椭圆的标准方程为,当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 (ab0). 依题意有 解得 因为ab0，所以无解. 综上，所求椭圆的标准方程为,方法二：设所求

9、椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)， 依题意有 解得 所以所求的椭圆方程为：,【方法技巧】 1.求椭圆方程的方法,2.椭圆方程的设法技巧 若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).,【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于6,求椭圆的方程. (2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.,【解析】(1)由椭圆的焦点坐标为(-2,0)，(2,0), 所以可设椭

10、圆的方程为: (ab0). 因为2a=6,2c=4，所以a=3,c=2, 所以b2=a2-c2=5, 所以所求点的轨迹方程为：,(2)因为焦点为F1(0，-5)，F2(0，5),可设椭圆方程为 2a= 所以a= c=5,b2=40-25=15， 所以椭圆方程为,【补偿训练】已知椭圆 (ab0)上一点P(3,4)， 且两焦点分别为F1,F2,若PF1PF2,试求椭圆方程. 【解题指南】由PF1PF2，可得出 求出c的值.再 根据点P在椭圆上，且a2=b2+c2，建立a,b的方程组，求出a,b的 值.,【解析】因为椭圆经过点P(3,4), 所以 又a2=b2+c2, 设F1(-c,0),F2(c,

11、0), 则 因为PF1PF2, 所以,所以 即9-c2=-16. 所以c2=25.所以c=5. 由可得 所以a2=45，b2=20. 故所求椭圆方程为,类型二 与椭圆有关的轨迹问题 【典例2】 (1)已知点M在椭圆 上，MP垂直于椭圆焦点所在的 直线，垂足为P，并且M为线段PP的中点，则P点的轨迹方 程为_. (2)(2013新课标全国卷改编)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹 为曲线C.求C的方程.,【解题探究】1.题(1)动点P与哪个动点有关?本题可采用什么方法求动点P的轨迹方程? 2.两圆外切时能得到什么条件?内

12、切时能得到什么条件? 【探究提示】1.动点P与点M有关.因为点M在已知椭圆上运动,所以本题可采用代入法求动点P的轨迹方程. 2.两圆外切,两圆的圆心距等于半径之和;两圆内切,两圆的圆心距等于半径差的绝对值.,【自主解答】(1)设点P的坐标为(x,y)，M点的坐标为(x0,y0). 因为点M在椭圆 上，所以 因为M是线段PP的中点，所以 把 代入 得 即x2+y2=36. 所以点P的轨迹方程为x2+y2=36. 答案：x2+y2=36,(2)由已知得圆M的圆心为M(-1,0)，半径r1=1；圆N的圆心为 N(1,0)，半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.动圆P与圆 M外切并且与圆

13、N内切， 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为 (x-2).,【方法技巧】求解与椭圆相关的轨迹问题的方法,【变式训练】已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( ),【解析】选C.因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项, 所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=22=4|F1F2|. 所以P的轨迹应是以F1,F2为焦点的椭圆. 这里c=1,a=2. 所以轨迹方程为,【补

14、偿训练】求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动 圆圆心的轨迹方程. 【解析】圆方程配方整理得(x+3)2+y2=102,圆心为C1(-3,0),半 径为R=10.设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r,依题意有 消去r得R-|PC|=|CC1|PC|+ |CC1|=R,即|PC|+|CC1|=10.,又P(3,0),C1(-3,0),且|PC1|=610.可见C点是以P,C1为两焦点的椭圆,且c=3,2a=10, 所以a=5,从而b=4, 故所求的动圆圆心的轨迹方程为,类型三 求参数的取值范围 【典例3】 (1)已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的 取值范围为_. (

15、2)(2014抚顺高二检测)已知x2sin +y2cos =1(0 )表示焦点在x轴上的椭圆.求的取值范围.,【解题探究】1.题(1)已知椭圆标准方程为 其中m,n 应满足什么条件? 2.题(2)如何将x2sin +y2cos =1化成标准形式?,【探究提示】1.m,n应满足条件 若焦点在x轴上，应有 mn；若焦点在y轴上，应有mn. 2.当sin 0，cos 0时，方程x2sin +y2cos =1可 化为,【自主解答】(1)由题意得： 即 所以 答案：,(2)由题意可将已知方程化为 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以 即 又因为0，所以 即所求的取值范围是,【延伸探究】若把题(1)中方程改为

16、其余条件 不变，求m的取值范围. 【解析】由题意得 当m0时， 所以,当m0时， 所以m-1. 所以m的取值范围是,【方法技巧】求参数取值范围的方法 (1)求参数的范围就是根据条件列出参数为未知量的不等式(组)或方程(组)，把问题转化为不等式(组)或方程(组)的求解问题. (2)对于椭圆，如果焦点所在的位置不确定，就需分两种情况分别列式求解.,【变式训练】(2014济宁高二检测)椭圆5x2+ky2=5的一个焦 点是(0，2)，那么实数k的值为( ) A.-25 B.25 C.-1 D.1 【解析】选D.由5x2+ky2=5，得 因为一个焦点是 (0，2)，所以 得k=1.,【补偿训练】如果方程 表示焦点在x轴上的椭圆， 则实数a的取值范围是( ) A.a3 B.a-2 C.a-2或a3 D.-6a-2或a3 【解析】选D.因为方程 表示焦点在x轴上的椭圆， 所以有 解得a3或-6a-2.,【易错