贝塞尔函数-5.ppt

1、数学物理方法,贝塞尔函数 ( Bessel Function ),一、贝塞尔函数的引出,在柱坐标系下，对拉普拉斯（Laplace）方程或亥姆霍兹（Helmholtz） 方程进行分离变量，将导出 n 阶 Bessel 方程。 柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程问题时, 以,代入 Lplace 方程,如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是 齐次的，就得出,一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一 类特殊函数贝塞尔函数。,引入新的自变量 , 上面最后一个方程可改写为,其中, n 为任意实数或复数, 本章中 n 只限与实数.,二、贝塞尔方程的解,这就是贝

2、塞尔方程.,贝塞尔方程,设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为,其中, 常数 和 可以通过把 和它的导数 、 代入上式 来确定。,到此，我们可以得到一个特解,用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数 轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为 n 阶第一类贝塞尔函数，记 作,贝塞尔方程的一个特解,当 n 为正整数或零时， ，故有,或,n 阶贝塞尔函数,n 阶纽曼函数 (第二类n 阶贝塞尔函数),n 阶汉克尔函数 (第三类n 阶贝塞尔函数),(n 整数),贝塞尔函数的图象,诺伊曼函数的图象,三、当n为整数时贝塞尔方程的通解,取哪一个特解? 一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数

3、比较方便. 不过, 当 n 为整数时,上式右端无意义! 为此, 要想写出整数阶贝塞尔方程的通解,必须要修改第二类贝塞尔函数的定义. 在 n 为整数的情况下 ,我们定义第二类 贝塞尔函数为,由于当 n 为整数时, , 所以上式右端的极限 是 形式的不定型的极限, 依据洛必达法则并经过冗长的推导, 最后得到,其中, 称为欧拉常数.,依据重新定义的函数, 它的确是贝塞尔方程的解, 而且与 是线性无 关的(因为当 时, 为有限值, 而 为无穷大.,综上所述, 贝塞尔方程,的通解为,其中 A , B 为任意常数, n 为任意实数 .,四、贝塞尔函数的生成函数,函数,称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数.

4、 它对于得到 n 取整数值的第一类 贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的, 然后常可证明这些性质对所有的 n 也 成立.,五、贝塞尔函数的递推公式,不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的, 而是有一定的联系, 这种联系 建立在递推公式上. 首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.,在下式中, 令 n=0 及 n=1,n=0 ；m=0 ：,n=1 ；m=0 ：,取出第一个级数 的第 k+1 项求导数, 得,n=1 ；m=0 ：,得到关系,将 乘以 并求导数, 又得到,即,以上结果,可以推广.,下列结论对所有的 n 都是成立的:,六、可变换成贝塞尔方程的方程,方程,其中 都是常数, 有通解,其中 若 ,

5、 方程可视为欧拉或柯西方程, 是可解的.,七、贝塞尔函数的渐近公式,对于大的 值, 有下列渐近公式:,八、贝塞尔函数的零点,在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解贝塞尔方程的 本征值问题:,为了求出上述本征值方程的本征值 , 必须要计算 的零点 . 有没有实的零点? 若存在实的零点 , 一共有多少个? 关于这些问题 ,有以下 几个结论 .,（1） 有无穷多个单重实零点 ， 且这无穷多个零点在 x 轴上关于原 点对称分布 。自然 必有无穷多个正的零点。,（2） 的零点与 的零点彼此相间分布 。,（3）以 表示 的非负零点（正的零点）（m = 1，2，) , 则 当 时, 其值将无限地接近于, 即 几乎是以 2 为周期的周期函数 .,九、贝塞尔函数的正交性,在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解贝塞尔方程的 本征值问题:,本征值方程,上述本征方程的解为:,即,本征值,与这些本征值相对应的本征函数为:,本征函数,本征函数,本征函数系 的正交性.,在 上, 带权重 正交 .,若 和 是两个不同的常数 , 可以证明,而,由第一式我们看