高等几何讲义(第2章)

1、第二章 射影平面_1. 扩大仿射平面,1.中心射影,设 与 /是二相交平面，s 是不在 和 /上的一定 点，取作射影中心对上的任意点 a，作直线sa 交 /于 a/将点 a/ 称作点 a 在 /上的中心射影， 从中心 s 引出的直线 sa 称为投射线,1. 扩大仿射平面,中心射影具有性质： 1. 将点变成点； 2. 将直线变成直线； 3. 保持点与直线的结合关系 这是平行射影也具有的性质 但中心射影不保持平行性，这与平行射影不同！(如图),1. 扩大仿射平面,另外，中心射影不是双射(如上图中的点 m；再如下图中，直线间的中心射影下，点 p 无对应点),分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交

2、线 方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射 新问题：无穷远元素如何表示？,1. 扩大仿射平面,无穷远元素的坐标表示,分析：平面仿射坐标系下，二直线 (1): a1x + b1y + c1 = 0，(2): a2x + b2y + c2 = 0，,注意到，所谓坐标不外乎点与数组之间的一种双射，因此也可将此比值定义为点的一种坐标,1. 扩大仿射平面,另外，注意到当一组直线平行于固定方向时，其中任二直线的三数比值中，前两数比值不变而第三数为零，且另一组平行直线的此种比值与之必不同 可见此类三数比值与平行直线上的无穷远点是一一对应的，因而可作为无穷远点的一种坐标,1. 扩大仿射平面,2. 点的齐次仿

3、射坐标 定义 设 = o; e1, e2 是平面仿射坐标系在之下，满足下述条件的有序实数组 (x1, x2, x3) (0, 0, 0) 称为平面上点的齐次仿射坐标： 1若 0，则 ( x1, x2, x3) 与 (x1, x2, x3)为同一点的齐次仿射坐标； 2若 x3 0，则 (x1, x2, x3)是(非齐次)仿射坐标为 x = x1/x3 , y = x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标； 3齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点 注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标与齐次仿射坐标之间互化的方法,1. 扩大仿射平面,引入了无穷远点的平面称为扩大(仿射)平面， 引进

4、了无穷远点的直线称为扩大直线 注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原来的作为点集的仿射平面或欧氏平面,1. 扩大仿射平面,3. 直线的齐次仿射坐标方程 仿射坐标系下，直线的方程为 ax by c 0 扩大直线的齐次仿射坐标方程为： ax1 bx2 cx3 0 (a、b、c不全为0) (1) 无穷远直线： x3 0 (2) 例设 0 为非无穷远直线， 0 为无穷远直线，则 0 (, 为参数)表示什么图形？ 答：为一束平行直线 直线(1)上的无穷远点为(b, a, 0) 当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)； 当不平行于 y 轴时，无穷远点可写为 (1,a/b,0),1. 扩大仿射

5、平面,因 k a/b 是直线 (1) 的方向数，故 方向数为 k 的直线上的无穷远点为 (1, k, 0)； 方向数为 的直线上的无穷远点为 (0, 1, 0) 可见，方向数与无穷远点一一对应 几个结论： 1. 每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点； 2. 平行直线有同一无穷远点； 3. 不平行直线有不同无穷远点； 4. 两点确定唯一直线 符号约定： 齐次坐标为 (x1, x2, x3) 的点记为 x； 点x的任一组确定的齐次坐标记为(x) (x1, x2, x3),1. 扩大仿射平面,例1 三点a、b、c共线 它们的齐次坐标满足,证明：若有至少二点相同，则显然成立 不同三点共线 存在直线 a1

6、x1 a2x2 a3x3 0，使三点坐标均满足此方程，即关于 a1、a2、a3 的齐次线性方程组,注：在代数观点下，可说 三点共线 此三点的坐标三数组线性相关 例2 求点 a (2, 3, 1)、b (1, 4, 0) 确定的直线 解：设a、b确定的直线上的动点为 x( x1, x2, x3 )，则有,1. 扩大仿射平面,故所求直线方程为：4x1 x2 5x3 0,1. 扩大仿射平面,一般地，记 a、b所连直线为 a b，其坐标方程为,或 (x) (a) (b)，、 r 且 2 2 0,其参数方程为：,2. 射影平面,1. 射影平面及其性质 将无穷远元素与普通元素平等对待的扩大仿射平面称为射影

7、平面 射影平面上的点称为射影点，简称点， 射影平面上的直线称为射影直线 ，简称直线 对以下几者在几何和代数上的理解： 1. 非全零有序三数组(x1, x2, x3)； 2. 给定非全零有序三数组(x1, x2, x3)，作 集合(x1, x2, x3) | 0； 3. 对二确定的非全零有序三数组(x)、(y)，作 集合(x) (y) | 2 2 0,2. 射影平面,射影平面上直线的特殊性质： 1. 直线是“封闭”的； 2. 任二不同直线有且仅有一个交点 3. 对射影平面的区域划分(如图),2. 射影平面,2*. 射影平面 p2 的定义及模型 射影平面 p 2 的定义 射影平面 p2 是由点与直

8、线两类元素组成的集合它与向量空间 v3 有下面的关系： 1p2 的点一一对应于 v3 的一维子空间； 2p2 的直线一一对应于 v3 的二维子空间； 3在 p2 中，若点对应的一维子空间包含在直线对应的二维子空间中，则称点与直线结合 在射影平面 p2 中，点用小写英文字母 a、b、x、y、 表示；直线用小写希腊字母 、 、 表示,2. 射影平面,射影平面p 2的几何模型 扩大仿射平面模型 若扩大仿射平面上点 x 齐次坐标为(x1, x2, x3)，则 1. 点 x 对应于 v3 中非零向量 (x1, x2, x3) 生成的一维子空间； 2. 过点 a 和点 b 的直线 ab 对应于由非零向量

9、(a) 和 (b) 生成的二维子空间； 3. 点 c 与直线 ab 的结合对应于由 (c) 生成的一维子空间包含在由 (a) 和 (b) 生成的二维子空间,2. 射影平面,丛模型,2. 丛的平面对应于 v3 中的二维子空间 丛是射影平面的一个模型： 丛的直线 射影平面的点； 丛的平面 射影平面的直线,所谓丛，指三维欧氏空间中过原点 o 的全体直线和平面的集合， o 称为丛的中心 1. 丛的直线对应于 v3 中的一维子空间；,2. 射影平面,半球面模型 规定：对径点合为一点 1. 点看作射影点； 2. 大圆及截口都看作射影直线,以球心为中心，可建立半球面模型与扩大仿射平面模型的一一对应关系,2.

10、 射影平面,3. 射影坐标与射影坐标变换 射影平面上，所有点、所有直线地位应平等，但无穷远直线仍有特殊性：其方程为 x3 0 下面引入射影坐标为此进行下述分析： 射影平面上的点 x，在代数上其坐标可分解为： (x1, x2, x3) x1(1, 0, 0) x2(0,1, 0) x3(0, 0,1), (2.1) 其中，(1, 0, 0)、(0,1, 0)分别是 x 轴、y 轴上的无穷远点 o(1)、 o(2) 在坐标，(0, 0,1)是仿射坐标系的原点 o(3) 的坐标 因 o(1)、o(2)、o(3) 的齐次坐标也可写为： (1, 0, 0)、(0, 2, 0)、(0, 0, 3),2.

11、射影平面,结论：为得到齐次仿射坐标，须以每三点不共线的四点构成齐次仿射标架 o(1), o(2), o(3); e， 其中， o(1)、o(2)是无穷远点，而点 e 的作用则在于由表达式：(e) (o(1) (o(2) (o(3) 限制点o(1)、o(2)、o(3)的坐标选取任意性,等价于要求(1, 2, 3 )是点 e(1, 1, 1)的齐次仿射坐标,故又可写成分解式： (x1, x2, x3) (x1/1)(1, 0, 0) (x2/2)(0, 2, 0) (x3/3)(0, 0, 3)， (2.2) 代数形式上，(x1/1, x2/2, x3/3) 与 (x1, x2, x3) 应表示同

12、一点的坐标,2. 射影平面,为定义射影坐标，先证明下述引理 引理 给定射影平面上每三点不共线的四点 a(i) ( i 1, 2, 3) 和 e，则在齐次仿射标架 下，对 e 的任意取定的坐标 (e)，存在 a(i) 的唯一一组坐标，使 (e) (a(1) (a(2) (a(3) 证明：任取定三点a(i)的齐次仿射坐标(a(i)/因每三点不共线，故必有 (e) 1(a(1)/ 2(a(2)/ 3(a(3)/， 其中123 0 令(a(i) i(a(i)/，则存在性得证 设a(i)的另一组坐标(a(i)*也满足 (e) (a(1)* (a(2)* (a(3)*，,2. 射影平面,则有(a(1)*

13、(a(2)* (a(3)* (a(1) (a(2) (a(3) 又因(a(i)* i(a(i)，故 (1 1)(a(1) (2 1)(a(2) (3 1)(a(3) 0 现因(a(1)、(a(2)、(a(3)线性无关，故 1 2 3 1， 故唯一性得证,2. 射影平面,射影坐标的定义： 设o(1)、o(2)、o(3)和 e 是射影平面上取定的每三点不共线的四点，其取定的一组齐次仿射坐标依次为 (o(1)*、 (o(2)*、 (o(3)* 和 (e)*，且满足 (e)* (o(1)* (o(2)* (o(3)* 若任意点 x 的齐次仿射坐标 (x)* 关于(o(1)*, (o(2)* , (o(

14、3)* 的分解式为 (x)* x1(o(1)* x2(o(2)* x3(o(3)*， 则称有序数组 ( x1, x2, x3 )为点 x 关于射影坐标系(或射影标架) o(1), o(2), o(3); e 的射影坐标 o(1)，o(2)，o(3) 称为基本点，e 称为单位点 三角形 o(1)o(2)o(3) 称为坐标三角(点)形,2. 射影平面,1. 射影标架中各点坐标(如图)； 2. 射影坐标是一种齐次坐标： (1) 射影坐标是不全为零的有序三数组； (2) 同一点的两组射影坐标成比例；,(3) 成比例的有序三数组表示同一点,例1 设在齐次仿射坐标系下，有点 o(1)(1, 1, 2)、o

15、(2)(0, 1, 2)、o(3)(3, 1, 4)、e(1, 0, 2)和 x(1, 1, 0)求点 x 关于 o(1), o(2), o(3); e的射影坐标 解：因 (1, 0, 2) ( 2)(1, 1, 2) ( 3)(0, 1, 2) (3, 1, 4) ( 2, 2, 4) (0, 3, 6) (3, 1, 4)， 又 (1, 1, 0) 2( 2, 2, 4) 2(0, 3, 6) (3, 1, 4)， 故 x 关于 的坐标为(2, 2, 1),2. 射影平面,仿射坐标系与射影坐标系的关系： 仿射坐标系是特殊的射影坐标系，当射影坐标三 点形的一边取成扩大仿射平面上的无穷远直线时

16、，则射影坐标系就特殊化为仿射坐标系,2. 射影平面,2. 射影平面,下面讨论射影坐标系 o(1), o(2), o(3); e 到射影坐标系 / o/(1), o/(2), o/(3); e/ 的坐标变换式 设点 x 关于二坐标系的坐标分别为 (x) (x1, x2, x3)、(x)/ (x1/, x2/, x3/) 再设在下， (o/(i) (a1i, a2i, a3i) (i 1, 2, 3)， (e/) (a11 a12 a13, a21 a22 a23, a31 a32 a33) 则 /的坐标变换式为：,2. 射影平面,证明：代数上，对 x 在 下坐标进行相应运算：,其中，a (aij

17、) 为变换矩阵,x/1(o/(1) x/2(o/(2) x/3(o/(3) x/1a11(o(1) a21(o(2) a31(o(3) x/2a12(o(1) a22(o(2) a32(o(3) x/3a13(o(1) a23(o(2) a33(o(3), a11x/1 a12x/2 a13x/3(o(1) a21x/1 a22x/2 a23x/3(o(2) a31x/1 a32x/2 a33x/3(o(3),2. 射影平面,(a11x/1a12x/2a13x/3, a21x/1a22x/2a23x/3, a31x/1a32x/2a33x/3)，,即 x 在 下的一组坐标为：,而 ( x1,

18、x2, x3 ) 也为 x 在下的一组坐标，故,于是得 定理1 射影坐标系 o(1), o(2), o(3); e 到射影坐标系 / o/(1), o/(2), o/(3); e/ 的坐标变换是满秩线性变换(2.3)，且其变换矩阵a的第一、二、三列分别是 /的第一、二、三个基点在 下满足关系(o/(1) (o/(2) (o/(3) (e/)的射影坐标,2. 射影平面,例2 设在射影坐标系 o(1), o(2), o(3); e 里，有点 o/(1)( 1, 2, 4 )，o/(2)( 2, 1, 0 )，o/(3)( 3, 0, 1)，e/(9, 5, 5)求从 到 / o/(1), o/(2

19、), o/(3); e/ 的坐标变换式 解：因 (9, 5, 5) 2(1, 2, 4) (2, 1, 0) 3(3, 0, 1) (2, 4, 8) ( 2, 1, 0) (9, 0, 3)， 故所求坐标变换为：,2. 射影平面,4. 直线与点列 一维射影坐标 定理2 射影坐标系下，直线方程是三元齐一次方程；反之，三元齐一次方程的图形是直线 证明：齐次仿射坐标系 *下，直线的齐次坐标方程为： a1x*1 a2x*2 a3x*3 0 (a12 a22 a32 0) (1) 又齐次仿射坐标系 *到射影坐标系 的坐标变换式为：,因(bij)为满秩矩阵而 a1、a2、a3不全为零，故 b1、b2、b

20、3也不全为零， 即直线在射影坐标系下的方程 (2)为齐一次方程 反之，对于 下的三元齐一次方程 (2)，经坐标变换后，必可得 *下的直线方程 (1),2. 射影平面,代入(1)整理得： b1x1 b2x2 b3x3 0 (2),2. 射影平面,类似于齐次仿射坐标系下三点共线的条件，在射影坐标系下，点 x 与二不同点 a、b 共线 ,这也是直线 ab 的方程 其参数方程为： (x) (a) (b)，, r且 2 2 0(2.4),2. 射影平面,一条定直线上全体点的集合称为点列，此直线称为点列的底 点列与底相互确定 称以 为底的点列为点列 式(2.4)也称为点列 的坐标式，定点 a、b 称为点列

21、的基点(, )是齐次参数 (2.4)可改写为：( x) (a) (b)，其中 / ，且约定当 时表示点 b 为非齐次参数 点列是一种一维基本形 在点列 上任取三不同定点a、b、e，选定其二维射影坐标(a)、(b)、(e)，使(e) (a) (b)，则得点列 上的一个射影坐标系 a, b; e，称为一维射影坐标系a、b称为基点，e称为单位点,2. 射影平面,任意点 x 的二维射影坐标 (x) 可分解为： (x) 1(a) 2(b)， (2.5) 有序系数组(1, 2)称为点 x 关于 a, b; e的齐次射影坐标 下，a(1, 0)、 b(0, 1)、e(1, 1) 若将(2.5)改写为：(x)

22、 (a) (b)， (2.6) 其中 1/2，且约定当 时表示点 a，则称 为此点列的点 x 在 a, b; e 下的非齐次射影坐标 下，a、b、e的非齐次射影坐标依次为 , 0, 1,2. 射影平面,注意(2.4)和(2.5)的区别 一维射影坐标与一维仿射坐标的联系： 特别，若将 a, b; e的第一个基点 a 取成 上唯一的无穷远点，则一维射影坐标特殊化成一维仿射坐标此时，扩大直线上的唯一无穷远点 a 的齐次仿射坐标为(1, 0)，非齐次仿射坐标为 5. desargues定理 平面内不共线三点及每两点连线构成的图形称为三点形； 平面内不共点三直线及每两线交点构成的图形称为三线形 其中的点

23、称为顶点，直线称为边,2. 射影平面,直线 ab 与 cd 的交点记为 (ab) (cd) 定理3 若二三点形对应顶点连线共点，则其对应边交点共线,证法一：若二三点形有对应顶点(边)重合，或者对应顶点连线所共点正好是某顶点，则命题显然成立以下仅讨论一般情况,各点如图建立射影坐标系 a, b, c; s，则 a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，s(1,1,1) 进而可设 (a/) (1,1,1) (1,0,0) ( 1,1,1) 同理可设 (b/) (1, 1,1)， (c/) (1,1, 1),2. 射影平面,由以上点的坐标可求得相关直线的方程： b c：x1 0， b/ c

24、/：( )x1 x2 x3 0， 故 (p) (0, , ) 同理，(q) ( , 0, ) ， (r) (, , 0) ,故 p、 q、 r三点共线,2. 射影平面,证法二：任意选定 s 的射影坐标(s)，则可调整两个三点形各顶点坐标，使 (s) (a) (a/) (b) (b/) (c) (c/)， 进行代数变形，得 (b) (c) (b/) (c/) (p)， (c) (a) (c/) (a/) (q)， (a) (b) (a/) (b/) (r)， 故 (p) (q) (r) 0， 所以， p、 q、 r 三点共线,2. 射影平面,desargues定理的逆定理： 定理4 若二三线形对

25、应边交点共线，则其对应点连线共点 此定理将在4看到其必然成立将desargues定理及其逆定理中对应顶点连线交点称为此二三角形的透视中心，对应边交点所在直线称为此二三角形的透视轴，并说这两个三角形是透视的,例3 已知三角形三高线 ad，be，cf，求证：(bc)(ef )，(ca)(fd)，(ab)(de) 共线,证明：因三高线ad，be，cf 共点于o， 故三点形 abc 与 def 的对应顶点连线共点于o 所以，它们的对应边交点(bc)(ef )，(ca)(fd)，(ab)(de)共线 例4 证明：任意四边形各对对边中点的连线及两对角线中点连线相交于一点,2. 射影平面,证明：如图，因 a

26、，b 是四边形邻边中点，故ab|hf 同理a/b/|hf从而ab|a/b/ 即 (ab)(a/b/)为无穷远点 同理，(bc)(b/c/)为无穷远点，(ca)(c/a/)为无穷远点,所以，三点形 abc与三点形 a/b/c/对应边交点共线于无穷远直线 因此，其对应顶点连线共点得证,例5 p44习题13,2. 射影平面,证明：设 / o，任取定过 z 的直线分别交 、 /于 y、y/ 因三点形 axy 与三点形a/x/y/对应顶点连线共点，故其对应边交点o、p、q共线 即动点 p在直线oq上 反之，可证oq上任一点必在该轨迹上,例6 二维射影几何可以用非齐次坐标研究吗？为什么？ 答：不能，因为射

27、影平面是由仿射平面添加了无穷多个点（无穷远点）而得的，这些新点无非齐次坐标,2. 射影平面,3. 交比与调和共轭,1. 扩大欧氏平面上的交比 距离是保距变换下的不变量； 简单比是仿射变换的基本不变量 中心射影会改变简单比,对共线四点a、b、c、d，定义交比：,可以证明：交比在中心射影下不变(如图),3. 交比与调和共轭,证明：如图，在以 o 为中心的中心射影下， 上的a、b、c、d 依次变为a/、b/、c/、d/ 以 h 记 o 到直线的距离，则 h ac 2oac的面积 oa oc sincoa， 所以 ac oa oc sincoa/h 同理 bc ob oc sincob/h， ad o

28、a od sindoa/h， bd ob od sindob/h,3. 交比与调和共轭,从而 (ab; cd) ac bd/bc ad sincoasindob/sindoasincob sinc/oa/sind/ob/sind/oa/sinc/ob/ a/c/ b/d/b/c/ a/d/ (a/b/; c/d/) 为将交比推广到射影平面，注意到齐次仿射坐标与射影坐标在代数上的相似性，下面在齐次坐标下，对交比进行分析我们有,3. 交比与调和共轭,引理 若共线四点 a、b、c、d 的各自一组齐次仿射坐标满足： (c)* 1(a)* 2(b)*， ( d )* 1(a)* 2(b)*，,则 (ab

29、; cd) 21/12,证明：设直角坐标系下，点 a(a1, a2) 与点 b(b1, b2) 所在直线上有另外二点 c(c1, c2)、d(d1, d2)，则存在实数 、 ( 0, 1)，使,不妨 a1 b1 ，则,若任意选定四点的齐次坐标(a)*、(b)*、(c)*、(d)*，且设 (c)* 1(a)* 2(b)*， ( d )* 1(a)* 2(b)* 因存在非零实数 u、v，使 (a)* u(a1, a2, 1)， (b)* v(b1, b2, 1)， 故,3. 交比与调和共轭,(c)* (1ua1 2vb1, 1ua2 2vb2, 1u 2v)， (d)* (1ua1 2vb1, 1

30、ua2 2vb2, 1u 2v) 由(3.1)，c、d 的另一组齐次坐标为： (c) ( a1 ( 1 )b1, a2 ( 1 )b2, 1 )， (d) ( a1 ( 1 )b1, a2 ( 1 )b2, 1 ) 分别比较c、d的两组齐次坐标，得,3. 交比与调和共轭,故由(2)，得 (ab; cd) 21/12,3. 交比与调和共轭,2. 射影平面上交比的定义 利用上面的引理，可将交比推广到射影平面上 设 a、b、c、d 是射影平面上，一点列的四不同点，则有,定义共线四点a、b、c、d的交比 (ab; cd) 为 (ab; cd) (2/1)/(2/1) 21/12 其中，a、b 称为基础

31、点，c、d 称为分点 可以证明：交比与坐标系的选取及坐标三数组的选取无关因而是有意义的,3. 交比与调和共轭,证明：若在射影标架 下，对共线四点有 (c) 1(a) 2(b)， (1) (d) 1(a) 2(b) (2) 设射影标架 *到射影标架 的坐标变换为： (x)*t a(x)t，det a 0， 则在 *下，则各点坐标为： (a)*t a a(a)t，(b)*t b a(b)t， (c)*t c a(c)t，(d)*t d a(d)t 而由(1)、(2)，有 a(c)t 1 a(a)t 2 a(b)t， a(d)t 1 a(a)t 2 a(b)t 故在射影标架 *下，有,(c)* 1(

32、c/a)(a)* 2(c/b)(b)*， (3) (d)* 1(d/a)(a)* 2(d/b)(b)* (4) 将(3)、(4)与(1)、(2)比较可知，射影平面上，交比定义与坐标系以及同一坐标系下坐标的选取无关,3. 交比与调和共轭,定理1 射影平面上，由二维射影坐标给出的共线四不同点a、b、c、d的交比为,其中 k l，并取1、2、3中适当二值,3. 交比与调和共轭,证明：任意取定四点坐标，则可设 (c) 1(a) 2(b)， (d) 1(a) 2(b) 考虑其第一式，即相容方程组： ci 1ai 2bi，( i 1, 2, 3) 因 a、b为不同二点，,3. 交比与调和共轭,利用交比定义

33、即得证,3. 交比与调和共轭,例1 已知四点 a( 1, 2, 0 )、b( 3, 1, 1 )、c(1, 5, 1 )、d( 7, 7, 3 )，求交比(ab; cd) 解法1：(定义法) 因 (1, 5, 1) 2(1, 2, 0) (3, 1, 1)， (7, 7, 3) 2(1, 2, 0) 3(3, 1, 1)， 故(ab; cd) (1)(2)/(23) 1/3 解法2：(定理法) 取 k 1，l 2，则,3. 交比与调和共轭,推论1 已知一点列不同四点的一维齐次射影坐标：p(i)(i, i) ( i 1, 2, 3, 4 )，则,证明：设此点列的基点a、b的二维射影坐标分别为(a

34、)、(b)，则 ( p(i) i(a) i (b) (ia1 ib1, ia2 ib2, ia3 ib3)，,由定理 1 即得,3. 交比与调和共轭,推论2 若共线四点 p(i) ( i 1, 2, 3, 4 ) 的一维非齐次射影坐标为 p(i)(i) ( i 1, 2, 3, 4 )，则,例2 已知一点列四点 a( 3 )、b()、c(1)、 d( 0 )， 求交比(ab; cd) 解法1：四点齐次坐标分别为：a(3, 1)、b(1, 0)、 c(1, 1)、 d(0, 1)，故,(ab; cd) ,解法2：(ab; cd) (3 1)( 0)/(3 0)( 1) 4/3,3. 交比与调和共

35、轭,对的处理：将 看作无穷大量 例3 试证：在仿射平面上，共线四点 p(i)(i 1, 2, 3, 4 ) 的交比就是两个简单比之比，即 (p(1) p(2); p(3) p(4) (p(1) p(2) p(3)/(p(1) p(2) p(4) 证明：设p(i)的仿射坐标为(xi, yi)，则齐次坐标为 (xi, yi, 1)不妨四点所在直线不平行于y轴，则, (x1 x3)(x2 x4)/(x1 x4)(x2 x3) (p(1) p(2) p(3)/(p(1) p(2) p(4),特别地，在欧氏平面上，有 (p(1)p(2); p(3)p(4) p(1) p(3) p(2) p(4)/p(1

36、) p(4) p(2) p(3),3. 交比与调和共轭,3. 交比与射影坐标的关系 定理2 若在一点列上建立了射影坐标系 = a, b; e ，则其上任意点 x 在 下的非齐次坐标为 (ab; ex) 证明：因 (e) (a) (b)， 而 (x) 1(a) 2(b)， 故 (ab; ex) 1/ 2 = ,定理3 在射影坐标系 o(1), o(2), o(3); e下，点 x 的坐标(x1, x2, x3)与交比有以下关系：,3. 交比与调和共轭,(o(1)o(3); e(2)x(2) x1/x3； (o(2)o(3); e(1)x(1) x2/x3； (o(1)o(2); e(3)x(3)

37、 x1/x2,证明：如图，可计算得 x(2)(x1, 0, x3)， e(2)(1, 0, 1)， 故 (e(2) (o(1) (o(3)， (x(2) x1(o(1) x3(o(3)， 所以， (o(1) o(3); e(2) x(2) x1/ x3 其余同理可证,3. 交比与调和共轭,4. 交比的性质及分组 对于共线四点1、2、3、4，可证明下述性质： 性质1. (34; 12) (12; 34)； 性质2. (21; 43) (12; 34)； 性质3. (21; 34) 1/(12; 34) (12; 43) ； 性质4. (13; 24) 1 (12; 34) 证明：只证性质4，其余

38、类似 因四点不同，可设 (3) (1) (2)，(4) (1) (2)， 则 (2) (1) (3)，(4) ( )(1) (3)， 故 (13; 24) ( )/() 1/， 而 (12; 34) /，所以性质 4 成立,3. 交比与调和共轭,其他性质：设1、2、3、4、5、6为六不同共线点，则有 1. (12; 34)(12; 45) (12; 35)； 2. (12; 34)(12; 56) (12; 36)(12; 54) 共线四点1、2、3、4产生的24个交比可分为六组：,1(12; 34) (21; 43) (34; 12) (43; 21) ； 2(12; 43) (21; 34

39、) (43; 12) (34; 21) 1/； 3(13; 24) (31; 42) (24; 13) (42; 31) 1； 4(13; 42) (31; 24) (42; 13) (24; 31) 1/(1)； 5(14; 23) (41; 32) (23; 14) (32; 41) ( 1)/； 6(14; 32) (41; 23) (32; 14) (23; 41) /( 1),3. 交比与调和共轭,例4 设(ab; cd) 3(ac; bd)，求(ab; cd) 解：因(ac; bd) 1 (ab; cd) ，故由所设得 (ab; cd) 3 3(ab; cd)， 所以， (ac;

40、bd) 3/2,3. 交比与调和共轭,5调和共轭 上述六组交比值若还有相等，则可能情形如下：,就本质而言，上面仅两种情形 定理4 共线四点交比取 0、1、的充要条件是四点有两点重合 对于 1的情形，定义： 当(ab; cd) 1时，称 a、b、c、d 构成调和比， 并称点对 a、b 与点对 c、d 成调和共轭,3. 交比与调和共轭,定理5 共线不同四点所成六组交比中，有相同值 此四点能配成调和共轭 例5 求证以非齐次仿射坐标给出的四点 a(3, 1)、b(7, 5)、c(6, 4)、d(9, 7) 共线，且构成调和共轭 证明：因各点齐次坐标分别为： a(3, 1, 1)、b(7, 5, 1)、

41、c(6, 4, 1)、d(9, 7, 1)， 由此得 4(c) (a) 3(b)，2(d) (a) 3(b)， 故四点共线，且(ab; cd) 1 例6 扩大仿射平面上，若共线四点 a、b与 c、d 成调和共轭，则 c、d 被 a、b 分隔且第四调和点 d 是无穷远点 c 是线段 ab 的中点,3. 交比与调和共轭,证明：因 (ab; cd) 1，故 acbd/adbc 1，因而 ac/bc 与 bd/ad 异号 这表明： 当 c 是线段 ab内分点时，d 是线段 ab 外分点； 而当 c 是线段ab 外分点时，d是线段ab内分点 故 c、d 被 a、b 分隔 ( 称为a、b调和分隔 c、d，

42、或c、d 调和分隔 a、b) 若 d 是无穷远点，则 bd/ad 1，故 ac/bc 1，即c是线段ab中点； 反之，若 c 是线段 ab 中点，则 ac/bc 1，从而 bd/ad 1，因此 d 只能是无穷远点,6. 完全四点形的调和性质 平面上每三点不共线的四点及连接其中任二点的六条直线构成的图形称为完全四点形 此四点称为顶点； 六条直线称为边 无公共顶点的两边称为对边； 共三组对边 对边的交点称为对角点， 二对角点的连线称为对角线 定理6 完全四点形的三个对角点不共线 证明：各点如图因 a、b、c、d 每三点不共线，故可建立射影坐标系 a, b, c; d，取,3. 交比与调和共轭,故

43、p、q、r不共线,(a) (1,0,0)，(b) (0,1,0)， (c) (0,0,1)，(d) (1,1,1)， 则 (a) (b) (c) (d) (p)， (a) (c) (b) (d) (q)， (a) (d) (b) (c) (r)， 故 (p) (1, 1, 0)， (q) (1, 0, 1)， (r) (0, 1, 1),3. 交比与调和共轭,由定理6可见，完全四点形的对角点构成一个三点形，称为对角三点形关于对角三点形，有 定理7 在完全四点形的对角三点形的一边上，三点形的二顶点，四点形的其余两边与三点形的该边的二交点，构成调和点组,3. 交比与调和共轭,证明：取定 a、b、c

44、、d 的坐标，使 (a) (b) (c) (d)，则 (a) (c) (b) (d) (q)， (a) (d) (b) (c) (r)， 则 (q) (r) (a) (b) (m) ， 而 (q) (r) (c) (d) (n) ， 所以， (qr; mn) 1， 即 q、r 与 m、n 调和共轭,3. 交比与调和共轭,定理7的应用：已知共线三点，求作第四调和点,作法：已知共线三点q、r、n,m,1. 任取不在所共直线上的二点c、d，使 c、d、n 共线；,2. 作点 a (d r)(c q)、 b (c r) (d q)；,3. 作点 m (a b)(q r)，,则 m 为第四调和点,3.

45、交比与调和共轭,例7 设 xyz 是完全四点形 abcd 的对角三点形，其中x (ad) (cb), y (ac) (bd), z (ab) (cd)，且 xz 分别交 ac、bd 于 p、q，证明： yz, bp, cq 共点,证法1：因三点形 bcz 与三点形 pqy 的对应边交点 x (b c) (p q)、 d (c z) (q y)、 a (z b) (y p) 三点共线，,故其对应顶点连线 yz、bp、cq 共点,3. 交比与调和共轭,证法2：建立如定理6的坐标系有 (z) (1, 1, 0)， (y) (1, 0, 1)， (x) (0, 1, 1) 从而， yz： x1 x2

46、x3 0， xz：x1 x2 x3 0 又 ac：x2 0 ， bd：x1 x3 0 故 ( p) (1, 0, 1)， ( q) (1, 2, 1),由此得 bp：x1 + x3 0 ，cq：2x1 x2 0 ， 从而由三直线 yz、bp、cq 方程可验证此三线共点,证法3：如图，设 m (y z) (b p)、 c/ (m q) (a p)， 分别考虑完全四点形 zxdb 与 bqzm，有 (yp; ac) 1 (yp; ac/)， 故 c c/， 即 yz、bp、cq 共点,3. 交比与调和共轭,4. 对偶原理,1. 点坐标与线坐标 以点为基本元素的几何学称为点几何学； 以直线为基本元素

47、的几何学称为线几何学,直线的点坐标方程为 : 1x1 2x2 3x3 0，(4.1) 等价于方程： 1x1 2x2 3x3 0，( 0) 因此定义：直线 的齐次点坐标方程 (4.1) 的有序系数组() (1, 2, 3) (0, 0, 0)称为直线 的直线坐标（简称线坐标）,4. 对偶原理,注意：与点坐标一样，线坐标也是齐次坐标 坐标三点形的三边：,记x 1x1 2x2 3x3 ，,边 方程 坐标 (1) o(2) o(3) x1 0 (1, 0, 0) (2) o(3) o(1) x2 0 (0, 1, 0) (3) o(1) o(2) x3 0 (0, 0, 1),则(4.1)成为： x

48、0 (4.1)/ 对(4.1)或(4.1)/的三种看法： 1. 若()与(x)均为定数组； 2. 将()看成定数组，(x)看成变数组； 3. 将(x)看成定数组，()看成变数组,4. 对偶原理,在第三种看法下，将(4.1)称为点 x 的方程，也可看作以 x 为心的线束的方程 点方程的几何意义：它是过点的动直线的坐标满足的代数条件 注意：此时，(x) 固定，而()变动另外，表示点方程时，变元须用希腊字母，以便区别 如：2x1 3x2 4x3 0为直线 (2, 3, 4) 的方程； 21 32 43 0为点 (2, 3, 4) 的方程,x,4. 对偶原理,2. 对偶原理,在线几何学中，点被看作一束

49、直线的心，因此，点 x 的方程是过定点 x 的动直线 的坐标满足的充要条件x 0,在点几何学中，直线被看作一系列点的轨迹，因此，直线 的方程是在定直线 上动点 x 的坐标满足的充要条件x 0,线几何学 1/直线有坐标(1, 2, 3) 0，且 0 时，(1, 2, 3) 与 (1, 2, 3) 表示同一直线；,点几何学 1点有坐标 (x1, x2, x3) 0，且 0 时，(x1, x2, x3) 与 (x1, x2, x3)表示同一点；,4. 对偶原理,可以对结论4和4/同时证明,2/点 x 的方程为 x 0，其中( )是变数组；,2直线 的方程为 x 0，其中( x )是变数组；,3/直线

50、 通过点 x 的充要条件为 x 0；,3点 x 在直线 上的充要条件为 x 0；,(a, b, c) (0, 0, 0)，,成立，即此线性方程组有非零解(a, b, c) ，故等价于,4. 对偶原理,4. 对偶原理,u/ (u/1, u/2, u/3 ) 和 u/ (u/1, u/2, u/3 ),u/ (u/1, u/2, u/3 ) 和 u/ (u/1, u/2, u/3 ),4. 对偶原理,由此可见连线、交点记号的含义： (a b) (a) (b)， ( ) () (),对偶原理可概括为以下五点： 1对偶元素 在射影平面上，点与直线称为对偶元素 2对偶关系 “在上”与“通过”是对偶关系；

51、“连结”与“相交”是对偶关系,7/不共点三直线与每两直线交点构成的图形称为三线形,7不共线三点与每两点连线构成的图形称为三点形,4. 对偶原理,3对偶命题 在一个命题中，将对偶元素互换，对偶关系也同时互换而得的新命题称为原命题的对偶命题 若一命题与其对偶命题本质上相同，则称为自对偶命题 4对偶图形 将一图形的元素换成其对偶元素，关系换成对偶关系，而作出的新图形称为原图形的对偶图形 若一图形与其对偶图形相同，则称之为自对偶图形 5对偶原理 在射影几何里，若一命题成立，则其对偶命题一定成立,4. 对偶原理,如，三点形与三线形是自对偶图形 desargues定理与其逆定理是对偶命题，故因desarg

52、ues定理成立，其逆定理自然成立 例1 作出下列图形的对偶图形,(2),4. 对偶原理,例2 写出下列命题的对偶命题： (1) 设一变动三点形，它的两边各通过一定点，而三顶点在共点的三条定直线上，则第三边也通过一定点； (2) 设在两直线， /上各取三点a，b，c和 a/，b/，c/，且都不是点 /，则三交点(bc/)(b/c)，(ca/)(c/a)，(ab/)(a/b)共线 解： (1) 设一变动三线形，它的两顶点各在一定直线上，而三边通过共线的三个定点，则第三顶点也在一定直线上； (2) 设过两点a，a/各取三直线， 和 /，/，/，且都不是直线aa/，则三连线( /)(/ )，( /)(

53、 / )，(/)( /)共点,4. 对偶原理,注意： 1对偶原理是射影几何特有的，只适用于有关点与直线结合关系的命题；在度量几何和仿射几何中对偶原理不成立 2我们的讨论仅限于二维射影平面，其理论虽可推广到三维射影空间，但有所不同： 三维射影空间中，点与平面是对偶元素，直线是自对偶元素,4. 对偶原理,3.重要对偶图形与命题 一、一维基本形,线束 定义 过一定点的全体直线的集合称为线束，定点叫做线束的心,点列 定义 在一定直线上的全体点的集合称为点列，定直线叫做点列的底,4. 对偶原理,因点列与线束均只依赖于一个独立参数，故是一维的，统称为一维基本形 由点列的交比及调和共轭定义，可对偶地得到有关线束的相关定义，并可从点列的相关结论对偶地得到线束的相应结论,坐标式 以定直线、为基线的线束的任意直线 的坐标为() () ()，、是齐次参数若采用非齐次参数，则为() () () ，其中 时表示直线 ,坐标式 以定点 a、