中考数学押轴题备考复习测试题

1、动态问题的押轴题解析汇编二的押轴题解析汇编二 动态问题 1 （2011 山东聊城24，12 分） （本题共 12 分）如图，在矩形ABCD 中，AB 12cm，BC 8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时 出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为 2cm/s， 点F的速度为 4cm/s，当点F追上点G（即点F与G点重合）时，三 个点随之停止移动，设移动开始第 t 秒时，EFG的面积为S(cm2)。 （1）当t 1时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围。 （3）若点F在矩形的边BC上移动时，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与

2、以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由。 B F 25 题图 AD G C 【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度，可以求得 BE、BF、FC 和 CG 的长度，计算出梯形 EBCG 和三角形 BEF、三角形 FCG 的面 积，从而求出EFG的面积为S(cm2)的值。 （2）由题意知移动时间t的取值范围是0t4，当0t2时， 图形如上图，此时可以用含有t的代数式表示出 BE、BF、FC 和 CG 的长度，进而表示EFG的面积S；当2t4时，图形如下，此 时可以用含有t的代数式表示出FG的长度，从而表示出出EFG的面 积为S的值。 AD G E F （3）用含有t的代数式表示出 BE、BF

3、、FC 和 CG 的长度，由于两三 角形对应关系的不确定，需要分来两种情况进行讨论。 【 答 案 】 解 ：（ 1 ） t 1 时 ， AE 2 , BF 4 , CG 2 。 则 BE 122 10,CF 84 4. B C 梯形 EBCG 的面积为 (BE CG)BC (10 2)8 48, 11 BEF的面积为BE BF 104 20, 22 11 CFG的面积为CF CG 24 4, 22 1 2 1 2 S 48204 24. (2) 当点F在BC时，此时0t2. AE 2t,BF 4t,CG 2t。则BE 122t,CF 84t. 梯形 EBCG 的面积为 (BE CG)BC (1

4、2 2t 2t)8 48, 11 BEF的面积为BE BF (12 2t)4t 4t2 24t, 22 11 CFG的面积为CF CG (84t)2t 4t28t, 22 1 2 1 2 S 48(4t2 24t) (4t28t) 4t232t 48。 即S 4t232t 48（0t2） 。 当点F在CD时，此时2t4。 CG 2t，CF 4t 8， FG CG CF 2t (4t 8) 8 2t。 11 EFG的面积为FG BC (82t)8 8t 32。 22 即S 8t 32（2t4） 。 （3）点F在矩形的边BC上移动时，此时0t2。 EBBF12 2t4t2 ,即 。解得t 。 FC

5、CG8 4t2t3 22 又t 满足0t2，所以当t 时，EBFFCG； 33 EBBF122t4t3 若,即。解得t 。 GCCF2t8 4t2 33 又t 满足0t2，所以当t 时，EBFGCF； 22 23 综上可知，当t 或t 时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、 32 若 C、G为顶点的三角形相似。 【点评】本题是当前的热点问题，动态几何探究综合题，需要综合运 用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能 力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。 2. （2011年四川省南充市21题8分） 如图， 等腰梯形ABCD中， ADBC, AD=AB=CD=2,

6、C=600, M 是 BC 的中点。 （1）求证：MDC 是等边三角形； （2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD(即 MD)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC)同时与 AD交于一点 F 时，点 E,F 和点 A 构成AEF. 试探究AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如 果存在，请计算出AEF 周长的最小值。 A D E C F D BMC 【解题思路】此题边长给出较多，因而可从边长入手；由图形中的特 殊的边角关系，利用全等变换，等量代换寻求周长的最小值。 【答案】证明：过点 D 作 DPBC 于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q， A C FD C=B =60

7、CP=BQ= AB,CP+BQ=AB 1 2 D E BQM PC 又ADPQ 是矩形,AD=PQ,BC=2AD,由 已 知 ， 点M是BC的 中 点 ， BM=CM=AD=AB=CD， 即MDC 中， CM=CD,C=60， 故MDC 是等边三角形. （2）解：AEF 的周长存在最小值，理由如下： 连结 AM，由（1）平行四边形 ABMD 是菱形，MAB，MAD 和 MCD是等边三角形， BMA=BME+AME=60， EMF= AMF+AME=60BME=AMF 在BME 与AMF 中，BM=AM,EBM=FAM=60 BMEAMF(ASA) BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE

8、=AB EMF=DMC=60,故EMF 是等边三角形，EF=MF MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离为 3，即 EF 的最小值是3。 AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF,AEF 周长的最小值为2 3 【点评】等边三角形的判定方法一般有两种： 一是三个角都相等的三 角形是等边三角形，二是有一个角是 60的等腰三角形是等边三角 形。 梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题去 解决。 3（2011 山东潍坊， 23， 11 分） 如图， AB 是半圆 O 的直径， AB=2 射 线 AM、BN 为半圆的切线在AM 上取一点 D，连接BD 交半圆 于点 C，连接 AC过

9、 O 点作 BC 的垂线 OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F过D 点做半圆的切线 DP，切点为P，与BN 相 交于点 Q （1）求证：ABCOFB； （2）当ABD 与BFO 的面积相等时，求 BQ 的长； （3）求证：当 D 在 AM 上移动时（A 点除外） ，点 Q 始终是线 段 BF 的中点 【解题思路】 （1）要证ABCOFB，易证ACB= OBF=90，由 ACBD 和 OFBD，得 ACOF，所以BAC= FOB，利用“两角对应相等，两三角形相似”即可证得； （2） 连接 OP，由DP、DA 是切线，可知DAB=OPD=90，由 ABD 与BFO 的面积相等，且（ 1）得A

10、BCOFB，可知 ABCOFB，所以 OA=OB，因此 OA=OP=AD=DP=1，从而得 证四边形 OADP 是正方形， 所以 DPAB， 进而确定 BQ=AD=1； （3）过点 Q 作 AM 的垂线 QK，由（1）ABCOFB，得 BFAB2 ，而 OB=1，所以 BF ，利用切线长定理易证： OBADAD 1 AD=DP，QB=QP，再利用勾股定理，确定BQ ， ，进而得证 AD 结论 【答案】解： （1）证明：AB 为直径， ACB=90，即 ACBC 又OEBC，OE/AC，BAC=FOB BN 是半圆的切线，故BCA=OBF=90 ACBOBF （2） 由ACBOBF， 得OFB=

11、DBA， DAB=OBF=90， ABDBFO， 当ABD 与BFO 的面积相等时，ABDBFO AD=BO=AB =1 DAAB，DA 为O 的切线 连接 OP，DP 是半圆 O 的切线， DA=DP=1，DA=AO=OP=DP=1， 四边形 ADPO 为正方形 DP/AB，四边形 DABQ 为矩形 BQ=AD=1 1 2 （3）由（2）知，ABDBFO， BFAB2 ，BF OBADAD DPQ 是半圆 O 的切线，AD=DP，QB=QP 过点 Q 作 AM 的垂线 QK，垂足为K，在 RtDQK 中， DQ2 QK2 DK2， AD BQ ADBQ22， BQ 1 ，BF=2BQ，Q 为

12、 BF 的中点 AD 22 【点拨】本题考查了相似三角形、 切线长定理、勾股定理等知识， 综合性较强在解题时要注意利用已知条件，构建模型，第三问 是动点移动问题， 解决时要把动点转化为静点来分析 难度较大 4 （2011 广东省，21，9 分）如图（1） ，ABC 与EFD 为等腰直角 三角形，AC 与 DE 重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定ABC， 将DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止现 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF(或它们的延长线) 分别交 BC(或它的延长线) 于 G，H 点，如图(2) B 题 21 图(1)

13、 CBG C E 题 21 图(2) A FA F H （1）问：始终与AGC 相似的三角形有HAB 及HGA； （2）设 CG=x，BH=y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图(2) 的情形说明理由） ； （3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形. 【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考 虑先证明 DEBC,还可以考虑用三角形的中位线来证明第（2）小 题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论第（3）小题 当 “四边形 MEND 与BDE 的面积相等” 相等时可带来DMEBEM, 可以推证得到DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是 B

14、MEBCA，它的三边之比是 3:4:5.综合这些结论可以通过列方 程等方法解决本题. 【答案】 （1）HAB 及HGA （2） 由AGCHAB， 得 AC/HB=GC/AB， 即 9/y=x/9， 故 y=81/x (0x0） ，MPQ 的面积为 S. （1）点 C 的坐标为，直线 l 的解析式为 （2）试求出点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围。 （3）试求题（ 2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值。 （4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 交于点 N，试探究：当 t 为何值

15、时，QMN 为等腰 三角形，请直接写出 t 的值。 【解题思路】 （1）A 的坐标为（8，0） ，B 的坐标为（11，4）由平行 四边形的性质可知点 C 的坐标为（3，4） ，又 O（0,0）所以直线 l 的 解析式为y x。 （2）由题意可知随着P、Q 两点的运动MPQ 的形 状也在发生变化， 所以我们要分情况讨论， 易求出 AB=OC=5， OP=t， AQ=2t，OM= t，Q 与 B 重合时 2t =5，t=，M 与 C 重合时，Q 在 AB 上， t =5，t=3，点 Q 与点 M 相遇时，162t=t， t= 5 2 5 2 5 3 16 。Q 在 3 5 3 5 2 4 3 AB

16、 上时，如图 1，0t，M 在 OC 上时，如图 2，t3，M、 Q 两点都在 CB 上时，如图3，3t 16 。 （3）根据（2）中S 的三种 3 情况，分别求出S 的最大值，然后比较，求出最大值。 （4）由题意可 知NMQ=90， QMN 为直角三角形， 要使QMN 为等腰三角形， 只需 MN=MQ， OP=t， PN= t， 又PM=4， MN=t4， CM= 4 3 4 3 4 3 3 4 （ t4） ，Q 的速度是 2，AB+BQ=2t，BQ=2t5，MQ=BC CMBQ= 8 （ t4）（2t5）=163t，t4=163t， t= 60 。 13 4 3 3 4 4 3 4 3 【

17、答案】解： （1）点 C 的坐标为（3，4） ，直线 l 的解析式为y x。 （2）根据题意，得 OP=t，AQ=2t，分三种情况讨论： 当 0t时，如图 1，M 点的坐标是（t， t） 过点 C 作 CDx 轴于 D，过点 Q 作 QEx 轴于 E，可得 AEQODC AQAEQE2tAEQE ， OCODCD534 68 AE= t，EQ=t 55 5 2 4 3 Q 点的坐标是（ 8+ t，t） ， 61 PE=8+ tt=8+t 55 6 5 8 5 图 S= MPPE= t（8+t）= 5 2 1 2 1 2 4 3 1 5 2 2 16 t + t 153 当t3 时，如图 2 过

18、点 Q 作 QFx 轴于 F BQ=2t5，OF=11（2t5） =162t。 点 Q 的坐标是 （162t， 4） PF=16 2tt=163t。 S= MPPE= t（163t）=-2t2+ 当点 Q 与点 M 相遇时，162t=t， 解得 t= 16 3 1 2 1 2 4 3 32 t 3图 当 3t t=163t，MP=4 16 时，如图 3，MQ=162t 3 S= MPPE= 4（163t）=6t32。 （3）当 0t时，S= a= 20， 当 0t时，S 随 t 的增大而增大。 t=时，S 有最大值，最大值为 当t3 时，S=-2t2+ 5 2 328 2 128 t=（2 t

19、 ） 339 5 2 85 6 5 2 5 2 2 2 162 2 160 t + t=（t 20） 图 153153 1 2 1 2 2 0，抛物线开口向上，对称轴为直线 x= 15 a=20，抛物线开口向下， t= 时，S 有最大值，最大值为 当 3t 随 t 的增大而减小。 16 时 S=0，0S14. 3 8128 综上所述，当 t= 时，S 有最大值，最大值为 39 60 （4）当 t=时，QMN 为等腰三角形 13 8 3 128 9 16 时，S=6t32，k=60，S 3 又t=3 时，S=14，当 t= 【点评】本题是一个代数、几何综合题，涉及到的知识点较多，主要 涉及到平行

20、四边形性质、勾股定理、三角函数、三角形面积、二次函 数、一次函数、等腰三角形等。第一问较为简单一般不会出错，第二 问需要根据动点的位置进行分类讨论， 关键在于准确进行分类，分类 的依据就是点的位置的变化（动点在不同线段上） ，此问容易因分类 不清而导致错误， 这一问是第三问的前提， 一定要认真细心确保正确， 不然第三问就不可能做对， 第三问根据第二问的结果分别求出每个表 达式的最大值，再进行比较，有范围的函数的最值要时刻注意自变量 的取值范围，第四问判断等腰三角形的存在性问题也要分情况讨论， 对应此题先判断三角形是直角三角形就降低了难度。难度较大。 11. （2011 黑龙江绥化，28，10

21、分） 已知直线y 3x 4 3与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， ABC=60 ， BC 与 x 轴交于点 C。 （1）试确定直线 BC 的解析式. （2）若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动(不与 A、C 重合),同时 动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动(不与 A、C 重合),动点 P 的运动速度是每秒1 个单位长度,动点Q 的运动速度是每秒2 个单位长度.设APQ 的面积为 S,P 点的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 （3）在（2）的条件下，当APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M， 平面内是否存在一点

22、 N，使以A、Q、M、N 为顶点的四边形为 菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理 由。 【解题思路】 （1）根据直线y 3x 4 3，可出求出其与坐标轴交点 的坐标：A（-4，0） ，B（0，4 3） ，所以 OA=4，OB=43，可求出 BAO=60 ，ABC=60 ，ABC 是等边三角形，OC=OA=4， C（4，0） ，用待定系数法求出一次函数的关系式； （2）分当点 Q 在 BC 和 AB 上两种情况， 求出 AP 上高的表达式从而写出 S 与 t 的函数关 系式； （3）当点 Q 与点 B 重合时，APQ 的面积最大，AQ（B）作 为菱形的一边有三种情况（4，0）

23、 （-4，8） （-4，-8） ，AQ（B）作为 菱形的一条对角线有一种情况（-4， 8 3 ）. 8 【答案】 （1）由已知得 A 点坐标（-4，0） ，点 B 坐标为（0，4 3）. OA=4，OB=4 3，BAO=60 ，ABC=60 ，ABC 是等边 三角形.OC=OA=4， C点坐标 （4， 0） .设直线BC的解析式为y=kx+b, k 3b 4 3 ,直线 BC 的解析式为y 3x 4 3.（2）当 P 4k b 0b 4 3 点在 AO 之间运动时，作 QHx 轴. 1 2 1 2 QH2tQHCQ ， ， OBCB4 38 3 2t(0t4).同理可得 S 2 QH= 35t

24、.，S APQ= APQH t 3t APQ= 13 2t(8 3 3t) t 4 3(4t8).(3)存在， （4，0） 、 （-4，8） 、 22 （-4，-8） 、 （-4， 8 3 ）. 8 【点评】本题综合考查三角函数、一次函数、特殊四边形等知识及运 动的观点解题，涉及的数据多，关系复杂，因此能读懂题意，明确题 中数量关系是解题的关键。 12 （2011 浙江湖州，24，12 分）如图 1，已知正方形 OABC 的边长 为 2，顶点 A、C 分别在 x，y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点P（0， m）是线段 OC 上一动点（C 点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D

25、（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （2）当APD 是等腰三角形时，求 m 的值； （3）设过P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2） 当点 P 从点 O 向点 C 运动时， 点 H 也随之运动请直接写出点 H 所经过的路径长 （不必写出解答 过程） 【解题思路】第 (1)由于 M 是 BC 的中点，ADOC，可得 RtPMCRtDMB，从而得出 CP=BD，容易得 D 的坐标为（2， 4-m） 第(2)是条件不确定，也就是APD 是等腰三角形没有说哪两边相 等，所以应分三种情况来讨论计算的过程构造直角三角形来进行

26、计 算， 第(3)是探究性试题，P 点的运动，带动了图形发生变化，也就是 E 点在 x 轴上的运动又引起了 H 点的变化，经过探究可知 H 点的轨 迹是个 90的圆弧直径是 OM，于是可计算出点 H 运动的路径 【答案】解： （1）由题意得 CM=BM， PMC=DMB， RtPMCRtDMB， DB=PC， DB=2-m，AD=4-m， 点 D 的坐标为（2，4-m） (2)分三种情况： 若 AP=AD， 则 4+m2=(4-m)2， 解得 m= 3 2 若 PD=PA，过 P 作 PFAB 于点 F， 则 AF=FD=AD=（4-m） ， 又 OP=AF， m=（4-m） ， 解得：m=

27、若 DP=DA， PMCDMB， PM=PD=AD=（4-m）， PC2+CM2=PM2， (2-m)2+1= (4 m)2， 解得m 1 ，m 2 2（舍去） 综上所述，当APD 是等腰三角形时， m 的值为或或 5 4 1 2 1 2 1 2 4 3 1 2 1 2 1 2 1 4 2 3 3 2 4 3 2 3 （3）点 H 所经过的路径长为 【点评】本题考查了点的坐标，全等形，等腰三角形，特别是分 类的数学思想以及变化的几何图形中变化的点的轨迹难度较大对 于初中不要求掌握的高中的点的轨迹的知识，学生要有方法来进行探 究其实也很简单，就是多画几点来，看动点如何变化当本题知道 动点的轨迹是

28、圆弧后，还要找出圆弧的圆心角以及半径的大小本题 难度较大 13 （2011 浙江义乌，23,10 分）如图 1，在等边ABC 中，点 D 是 边 AC 的中点，点 P 是线段 DC 上的动点(点 P 与点 C 不重合)， 连结 BP. 将ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转 角（0180） ，得 到A 1B1P,连结 AA1，射线 AA1 分别交射线 PB、射线B 1B 于点 E、F. （1） 如图 1，当060时，在 角变化过程中，BEF与 AEP 始终存在关系（填“相似”或“全等” ） ，并说明理由； （2）如图 2，设ABP= . 当 60180时，在 角变化过程 中，是否存在BEF 与A

29、EP 全等？若存在，求出 与 之间的数 量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 =60时，点 E、F 与点 B 重合. 已知 AB=4，设 DP=x，A 1BB1 的面 积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式. E B A1 B1 F B F B A1 B1 A1 E C A A D P 图 1 C DP B1 A D P 图 3 C 图 2 【解题思路】由旋转的特征可推得PAA 1 =PBB1,由E=E，所 以两三角形相似，位置改变后，仍可推得 BEF AEP，可先假 定BEFAEP，只要满足 BE=AE，即BAE=ABE，因为 BAC=60，于是BAE=60 90 30 .即

30、 30 即 222 =2+60. 由旋转的过程知 AB=A1B1=4，只要用 x 表示出 A1B1边 上的高，由旋转推得PAA 1 是等边三角形，分别过点 B、A 1 作 AC 边 上的垂线，可得到 A1B1边上的高，从而求得解析式. 【答案】解: （1） 相似 由题意得：APA 1=BPB1=, AP= A1P , BP=B1P,则PAA1 =PBB1 180 = 90 22 ,PBB1=EBF , PAE=EBF.又BEF= AEP , BEF AEP. （2）存在，理由如下： 易得：BEF AEP 若要使得BEFAEP， 只需要满足BE=AE即可 BAE=ABE, BAC=60 ,BAE

31、=60 90 30 . 22 ABE=,BAE=ABE. 30 即 =2+60. 2 （3）连结 BD，交 A 1B1 于点 G，过点 A 1 作 A 1HAC 于点 H. , B 1 A1P=A1PA=60. A 1B1AC . 由题意得：AP= A1 P,A=60. PAA 1 是等边 三角形. A1H= 3 (2 x). 2 B A1 B1 G A HDO P C 在 RtABD 中，BD=2 3,BG=2 3 S A BB 1 33 (2 x) 3 x. 22 1 13 43 x 2 3 3x , （0 x2）. 22 【点评】本题是一道几何探究题，做题的关键是把握其中的规律，顺 藤摸

32、瓜，找到图形变换前后图形的异同 .在解题时注意分解图形，找 寻基本图形之间的联系.难度较高. 24 （2011 浙江义乌，24,12 分）已知二次函数的图象经过 A（2，0） 、 C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x=4. 设顶点为点 P，与 x 轴的另一 交点为点 B. （1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； （2）如图 1，在直线 y=2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等 腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外） ，以 每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN x 轴，交 PB 于点 N. 将PMN 沿直线 MN 对折，得到P1MN. 在动 点M的运动过程中， 设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S， 运动时间为 t 秒. 求 S 关于 t 的函数关系式. y y CC A OA P B O B x M P N x 图 1 第 24 题 图 2 【解题思路】根据题意，设解析式为一般式根据题意即可求得；假定 这样的等腰梯形存在， 可先确定 B 点坐标， 则 BP 直线的解析式易得， 看 OD 与 BP 是否平行，以确定等腰梯形的底和要，然后根据腰相等